Question

如圖所示OB為粗細(xì)均勻的均質(zhì)杠桿，O為支點(diǎn)，在離O點(diǎn)距離為a的A處掛一個(gè)質(zhì)量為M的物體，杠桿每單位長度的質(zhì)量為m，當(dāng)杠桿為多長時(shí)，可以在B點(diǎn)用最小的作用力F維持杠桿平衡？（　�。�

• A．

  2Ma/m

• B．

  Ma/m

• C．2Ma/m
• D．無限長

Answer 1

分析：解答本題需要根據(jù)杠桿平衡條件F₁L₁=F₂L₂去分析計(jì)算：
本題中動(dòng)力為F，動(dòng)力臂為OB，而阻力有兩個(gè)（一個(gè)是重物Mg，另一個(gè)是杠桿本身的重力），所以阻力臂也有兩個(gè)（重物G的力臂是OA，杠桿重力的力臂是

1

2

OB），明確了動(dòng)力、動(dòng)力臂、阻力和阻力臂之后，我們就可以根據(jù)杠桿平衡條件列出一個(gè)方程，然后根據(jù)數(shù)學(xué)方面的知識(shí)求解方程．

解答：解：（1）由題意可知，杠桿的動(dòng)力為F，動(dòng)力臂為OB，阻力分別是重物G_物和杠桿的重力G_杠桿，阻力臂分別是OA和

1

2

OB，重物的重力G_物=Mg
杠桿的重力G_杠桿=mg×OB，
由杠桿平衡條件F₁L₁=F₂L₂可得：
F?OB=G_物?OA+G_杠桿?

1

2

OB，
（2）代入相關(guān)數(shù)據(jù)：
則F?OB=Mg?a+mg?OB?

1

2

OB，
得：F?OB=Mga+

1

2

mg?（OB）²，
移項(xiàng)得：

1

2

mg?（OB）²-F?OB+Mga=0，
∵杠桿的長度OB是確定的，只有一個(gè)，所以該方程只能取一個(gè)解，
∴該方程根的判別式b²-4ac等于0，因?yàn)楫?dāng)b²-4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即有一個(gè)解，
即：則F²-4×

1

2

mg×Mga=0，
則F²=2mMg²a，
得F=

2mMa

?g，
（3）將F=

2mMa

?g代入方程

1

2

mg?（OB）²-F?OB+Mga=0，
解得OB=

2Ma m

．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道跨學(xué)科題，需要學(xué)生掌握物理的杠桿知識(shí)和數(shù)學(xué)的一元二次方程的相關(guān)知識(shí)，題中學(xué)生容易出錯(cuò)的地方有三個(gè)：①對(duì)于杠桿重力的確定；②對(duì)于阻力及阻力臂的確定；③對(duì)于根的判別式的確定．