Question

13．作家巴勒斯的科幻小說《火星公主》被改編成電影《異星戰(zhàn)場(chǎng)》．影片描寫了地球人卡特來到火星，為救火星公主征戰(zhàn)火星的故事．由于火星和地球?qū)ξ矬w的引力不同，使得卡特在火星上英勇無敵，成為火星戰(zhàn)神．科學(xué)知識(shí)告訴我們，對(duì)每個(gè)星球來講，下列公式成立：R²g=KM，這一關(guān)系式被稱為“黃金變換”．其中：R為星球的半徑，g為星球的引力常數(shù)（已知g_地=10N/kg），M為星球的質(zhì)量，K=6.67×10^-11N•m²/kg²．
（1）火星的半徑是地球的一半，密度是地球的九分之八．請(qǐng)問，卡特站立在火星上對(duì)火星表面的壓強(qiáng)與站立在地球上對(duì)地面的壓強(qiáng)之比是4：9（提示：球體體積公式：V_球=$\frac{4}{3}$πR³）；
（2）若不計(jì)空氣阻力，人們跳遠(yuǎn)的最遠(yuǎn)距離s與星球的g成反比，與起跳速度v₀的關(guān)系如圖象所示．下列四個(gè)關(guān)于s的表達(dá)式中只有一個(gè)是正確的，你選擇C；
A．s=gv₀²      B．s=$\frac{{V}_{0}}{g}$      C．s=$\frac{{{V}_{0}}^{2}}{g}$      D．s=gv₀
（3）不計(jì)空氣阻力，如果卡特在地球上最遠(yuǎn)可以跳8.95m（世界跳遠(yuǎn)紀(jì)錄），則他在火星上以相同的速度起跳，最遠(yuǎn)可以跳20.1375m．

Answer 1

分析 （1）卡特站立在火星上和站立在地球上的受力面積相同，由p=$\frac{F}{S}$可得，卡特站立在火星上對(duì)火星表面的壓強(qiáng)與站立在地球上對(duì)地面的壓強(qiáng)之比等于壓力之比；壓力大小等于星球的引力．
（2）從圖形中可以看出，該圖象為正比例函數(shù)；根據(jù)題意和正比例函數(shù)即可得出三者之間的關(guān)系．
（3）由（1）的解題過程可得，$\frac{{g}_{火}}{{g}_{地}}$=$\frac{4}{9}$，再結(jié)合s=$\frac{{v}_{0}^{2}}{g}$即可求出在火星上跳得的最遠(yuǎn)距離．

解答 解：（1）$\frac{{p}_{火}}{{p}_{地}}$=$\frac{{F}_{火}}{{F}_{地}}$=$\frac{{G}_{火}}{{G}_{地}}$=$\frac{{g}_{火}}{{g}_{地}}$=$\frac{{W}_{火}{R}_{地}^{2}}{{M}_{地}{R}_{火}^{2}}$=$\frac{{ρ}_{火}{v}_{火}{R}_{地}^{2}}{{ρ}_{地}{v}_{地}{R}_{火}^{2}}$=$\frac{{ρ}_{火}{R}_{火}}{{ρ}_{地}{R}_{地}}$=$\frac{8×1}{9×2}$=$\frac{4}{9}$；
（2）因?yàn)樵搱D象為正比例函數(shù)，即人們跳遠(yuǎn)的最遠(yuǎn)距離s與起跳速度v₀的平方成正比，又因?yàn)榕c星球的g成反比，因此三者的關(guān)系為：s=$\frac{{v}_{0}^{2}}{g}$，故C正確；
（3）因?yàn)?\frac{{g}_{火}}{{g}_{地}}$=$\frac{4}{9}$，s=$\frac{{v}_{0}^{2}}{g}$，
所以$\frac{{s}_{火}}{{s}_{地}}$=$\frac{{g}_{地}}{{g}_{火}}$=$\frac{9}{4}$，
故s_火=$\frac{9}{4}$×8.95m=20.1375m．
故答案為：（1）4：9；（2）C；（3）20.1375．

點(diǎn)評(píng) 此題涉及到球的體積，壓強(qiáng)公式的應(yīng)用等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，難度較大，而且計(jì)算過程非常繁瑣，稍一疏忽，就有可能出錯(cuò)，從而導(dǎo)致整個(gè)題錯(cuò)誤，因此解答此題不僅要細(xì)心，而且要有耐心．