Question

13．如圖所示，底面積為0.02米²、高為0.15米的薄壁圓柱形容器甲，放置于水平地面上，內盛有0.1米深的水；另有高為0.4米的圓柱形木塊乙，同樣放置于水平地面上，底面積為0.01米²，密度為0.5ρ_水，求：
①水對容器底部的壓強p_水；
②圓柱形木塊乙的質量m_乙；
③若在乙上方沿水平方向切去厚為△h的木塊，并將切去部分豎直放在容器甲內，此時水對容器底部的壓強增加量為△p_水，容器對地面的壓強增加量為△p_地，請求出△p_水與△p_地相等時的△h的取值范圍．

Answer 1

分析 ①知道深度，利用p=ρgh求水的壓強；
②知道圓柱形木塊乙底面積和高度，求出木塊乙體積，再利用m=ρV求木塊乙的質量m_乙；
③由于ρ_乙＜ρ_水，則△h的木塊豎直放在容器甲內靜止后木塊處于漂浮狀態(tài)，由于容器甲是薄壁圓柱形容器，當水對容器底部的壓強增加量為△p_水與容器對地面的壓強增加量為△p_地是始終相等的；
當水溢出后木塊仍漂浮時溢出水的重力與木塊再增加的重力相等，故水溢出后水對容器底部的壓強增加量為△p_水與容器對地面的壓強增加量為△p_地也始終相等的；故當木塊對甲容器底部剛剛接觸，仍處于漂浮時△h最大，據(jù)此即可求出△h的最大值．

解答 解：①水對容器底部的壓強：
p_水=ρ_水gh_水=1×10³kg/m³×10N/kg×0.1m=1000Pa；
②木塊乙的體積V_乙=S_乙h_乙=0.01m²×0.4m=4×10^-5m³，
木塊乙的密度ρ_乙=0.5ρ_水=0.5×1×10³kg/m³×=0.5×10³kg/m³，
由ρ=$\frac{m}{V}$得：
m_乙=ρ_乙V_乙=0.5×10³kg/m³×4×10^-5m³=0.02kg；
③由于ρ_乙=0.5×10³kg/m³＜ρ_水，則△h的木塊豎直放在容器甲內靜止后木塊處于漂浮狀態(tài)；
當水未溢出時，由于容器甲是薄壁圓柱形容器，則此時水對容器底部的壓強增加量：
△p_水=$\frac{△G}{{S}_{甲}}$=$\frac{{{ρ}_{乙}S}_{乙}△h}{{S}_{甲}}$，
容器對地面的壓強增加量：
△p_地=$\frac{△F}{{S}_{甲}}$=$\frac{△G}{{S}_{甲}}$=$\frac{{{ρ}_{乙}S}_{乙}△h}{{S}_{甲}}$，
所以，只要水未溢出時，水對容器底部的壓強增加量為△p_水與容器對地面的壓強增加量為△p_地是始終相等的；若水會溢出，當木塊仍處于漂浮狀態(tài)時，△G_排=△F_浮，△G_物=△F_浮；則△G_排=△G_物；
即水會溢出后，雖然水對容器底部的壓力不再增加，△p_水不變；但木塊對甲容器底部剛剛接觸恰好處于漂浮時，再增加的木塊重力與木塊再溢出水的重力相等；所以，木塊對甲容器底部剛剛接觸，仍處于漂浮時△h最大；此時木塊排開水的體積為V_排最大=S_乙h_甲，根據(jù)漂浮條件可得：F_浮=G_物，
即：ρ_水gV_排最大=ρ_乙g△h_最大S_乙，則：ρ_水gS_乙h_甲=$\frac{1}{2}$ρ_水g△h_最大S_乙，
所以，△h_最大=2h_甲=2×0.15m=0.3m．
則△h的取值范圍是0～0.3m．
答：①水對容器底部的壓強p_水=1000Pa；
②圓柱形木塊乙的質量m_乙=0.02kg；
③△p_水與△p_地相等時的△h的取值范圍是0～0.3m．

點評 本題為力學綜合題，考查了學生對重力公式、密度公式、液體壓強公式、壓強定義式的掌握和運用，本題難點在判斷得出只要水溢出后，木塊對甲容器底部剛剛接觸恰好處于漂浮時，水對容器底部的壓強增加量為△p_水與容器對地面的壓強增加量為△p_地是始終相等的，屬于難題！