Question

9．人站在船上打撈沉沒在河中的瓷器，船上的裝置如圖所示．為了打撈重400N的瓷器，把瓷器放入一個合金制的筐內，合金筐重80N，瓷的密度是2.5×10³㎏/m³，合金的密度是8.0×10³㎏/m³．不計繩子重和滑輪軸與輪的摩擦時，當人站在船上豎直向下緩慢勻速拉動繩子，拉動水中合金筐時，不計水的阻力，人對船板的壓強為p₁，滑輪組的機械效率為η₁；當合金筐離開水面后，保持人腳與船板的接觸面積不變，人對船板的壓強為p₂，滑輪組的機械效率為η₂．若p₁：p₂=77：60，η₁：η₂=30：33，求人重和動滑輪重（g取10N/kg）．

Answer 1

分析 人站在船上豎直向下緩慢勻速拉動繩子，人對繩子的拉力F=G_人-F_支，不計繩重和摩擦η=$\frac{{W}_{有}}{{W}_{總}}$=$\frac{（{G}_{瓷}+G金）h}{（{G}_{瓷}+{G}_{金}+{G}_{動}）h}$=$\frac{{G}_{瓷}+{G}_{金}}{{G}_{瓷}+{G}_{金}+{G}_{動}}$；
結合壓強知識p=$\frac{F}{S}$列出方程求解．

解答 解：當合金筐和瓷器在水中和離開水面后，對動滑輪進行受力分析如圖1、2所示，因為勻速直線運動：

2•F₁=F_拉1+G_物
2•F₂=F_拉2+G_物
其中：F_拉1=G_瓷+G_合金筐-F_瓷浮-F_合金筐浮
F_瓷浮=V_瓷•ρ_水•g=$\frac{{G}_{瓷}}{{ρ}_{瓷}•g}$•ρ_水•g=$\frac{400N×1{0}^{3}kg/{m}^{3}}{2.5×1{0}^{3}kg/{m}^{3}}$=160N
F_合金筐=V_合金筐•ρ_水•g=$\frac{{G}_{合金筐}}{{ρ}_{合金筐}•g}$•ρ_水•g=$\frac{80N×1{0}^{3}kg/{m}^{3}}{8×1{0}^{3}kg/{m}^{3}}$=10N
F_拉2=G_瓷+G_合金筐
由η=$\frac{{W}_{有}}{{W}_{總}}$，設拉動合金筐上升的距離為h
η₁=$\frac{（{G}_{瓷}-{F}_{瓷浮}）h}{{F}_{1}•2•h}$=$\frac{（{G}_{瓷}-{F}_{瓷浮}）h}{（{F}_{拉1}+{G}_{動}）h}$=$\frac{{G}_{瓷}-{F}_{瓷浮}}{{G}_{瓷}+{G}_{合金筐}-{F}_{瓷浮}-{F}_{合金筐}+{G}_{動}}$=$\frac{400N-160N}{400N+80N-160N-10N+{G}_{動}}$=$\frac{240N}{310N+{G}_{動}}$；
η₂=$\frac{{G}_{瓷}•h}{{F}_{2}•2•h}$=$\frac{{G}_{瓷}•h}{（{F}_{拉2}+{G}_{動}）•h}$=$\frac{{G}_{瓷}}{{G}_{瓷}+{G}_{合金筐}+{G}_{動}}$=$\frac{400N}{400N+80N+{G}_{動}}$=$\frac{400N}{480N+{G}_{動}}$
由η₁：η₂=30：33得：
$\frac{240N}{310N+{G}_{動}}$：$\frac{400N}{480N+{G}_{動}}$=30：33
解得：G_動=20N
2F₁=G_瓷+G_合金筐-F_瓷浮-F_合金筐浮+G_動=400N+80N-160N-10N+20N=330N
故F₁=165N；
2F₂=G_瓷+G_合金筐+G_動=400N+80N+20N=500N
F₂=250N
人拉合金筐在水中時，受到重力G_人、繩子拉力F₁′和船板支持力N_支，如下左圖所示；
人拉合金筐離開水面時，受到重力G_人、繩子拉力F₂′和船板支持力N_支′，如下右圖所示；
人處于靜止，G_人=F₁′+N_支，F(xiàn)₁′、N_支與F₁、N_壓是兩對相互作用力，大小相等．

由p=$\frac{{F}_{壓}}{{S}_{腳}}$ 
p₁=$\frac{{N}_{支}}{{S}_{腳}}$=$\frac{{G}_{人}-{F}_{1}}{{S}_{腳}}$=$\frac{{G}_{人}-165N}{{S}_{腳}}$
p₂=$\frac{{N}_{支}^{′}}{{S}_{腳}}$=$\frac{{G}_{人}-{F}_{2}}{{S}_{腳}}$=$\frac{{G}_{人}-250N}{{S}_{腳}}$
因為p₁：p₂=77：60和S_腳保持不變
得到：（G_人-165N）：（G_人-250）=77：60
解得：G_人=550N
答：人重550N；動滑輪重20N．

點評 此題主要考查學生對于滑輪組、浮力、機械效率和壓強知識的理解和掌握．屬于難題．