Question

3． 如圖甲是一副小型起重機吊起貨物的圖片，貨物掛在動滑輪的下端，繩子的自由端通過放置在起重機上的卷揚機豎直向上拉動，最右端時為了防止吊起貨物時起重機向左傾倒而掛的配重．起重機吊起重物時主要結(jié)構(gòu)可簡化成如圖乙所示．已知AB、CD、DE水平且長度為1m，BC段的水平距離CF也為1m，前輪與地的接觸點在B點的正下方，后輪與地的接觸點在D點的正下方．起重機的自重（含配重）為3×10⁴N，重心在CD中點．起重機的鋼絲繩重和滑輪與軸之間的摩擦不計，g取10N/kg．
（1）為使起重機吊起貨物時不發(fā)生傾倒，求起重機最多能吊起貨物的質(zhì)量m；
（2）當(dāng)起重機吊起質(zhì)量m₁=2×10²kg的物體以v=0.5m/s的速度勻速上升時，卷揚機的輸出功率P₁=1.1kW．求此時滑輪組的機械效率η；
（3）當(dāng)起重機吊起質(zhì)量m₂=3×10²kg的物體仍以v=0.5m/s的速度勻速上升時，求卷揚機的輸出功率P₂．

Answer 1

分析 （1）以前輪圓心作為支點，將物重和配重分別看作動力和阻力，已知兩力臂AB、（FC+$\frac{1}{2}$CD）的長，依據(jù)杠桿的平衡條件列式求解即可．
（2）根據(jù)W_有用=Gh=Gvt計算有用功；根據(jù)W_總=P₁t計算總功，由η=$\frac{{W}_{有}}{{W}_{總}}$計算機械效率
（3）根據(jù)P=Fv和F=$\frac{1}{n}$（G+G_動）先計算動滑輪重，再計算提起質(zhì)量為物體m₂時繩子自由端拉力F′，最后根據(jù)P₂=F′×4v計算卷揚機的輸出功率P₂．

解答 解：
（1）由乙圖起重機相當(dāng)于一個杠桿，如圖所示：，
根據(jù)杠桿的平衡條件：m_貨g×AB=G_起重機×（FC+$\frac{1}{2}$CD），
即：m_貨×10N/kg×1m=3×10⁴N×（1m+$\frac{1}{2}$×1m），
解得：m_貨=4.5×10³kg；
（2）設(shè)提起重物的時間為t，
此時滑輪組的機械效率：
η=$\frac{{W}_{有}}{{W}_{總}}$×100%=$\frac{Gvt}{{P}_{1}t}$×100%=$\frac{2×1{0}^{2}kg×10N/kg×0.5m/s×t}{1.1×1{0}^{3}W×t}$×100%≈90.9%；
（2）提起質(zhì)量m₁物體時，由甲圖可知通過動滑輪繩子的段數(shù)n=4，
鋼繩自由端速度v_F=4v，
P₁=F4v，
F=$\frac{{P}_{1}}{4v}$=$\frac{1.1×1{0}^{3}W}{0.5m/s×4}$=550N，
起重機的鋼絲繩重和滑輪與軸之間的摩擦不計，提起質(zhì)量m₁物體時，F(xiàn)=$\frac{1}{4}$×（G+G_動），
G_動=4F-G=4×550N-2×10²kg×10N/kg=200N，
當(dāng)提起質(zhì)量為m₂物體的時鋼繩自由端拉力：
F′=$\frac{1}{4}$×（G′+G_動）=$\frac{1}{4}$×（3×10²kg×10N/kg+200N）=800N，
此時卷揚機的輸出功率：
P₂=F′×4v=800N×4×0.5m/s=1600W．
答：（1）為使起重機吊起貨物時不發(fā)生傾倒，起重機最多能吊起貨物的質(zhì)量為4.5×10³kg；
（2）當(dāng)起重機吊起質(zhì)量m₁=2×10²kg的物體以v=0.5m/s的速度勻速上升時，卷揚機的輸出功率P₁=1.1kW．此時滑輪組的機械效率為90.9%；
（3）當(dāng)起重機吊起質(zhì)量m₂=3×10²kg的物體仍以x=0.5m/s的速度勻速上升時，卷揚機的輸出功率為1600W．

點評 本題考查了杠桿的平衡條件、機械效率和功率的計算，過程復(fù)雜，有一定難度．關(guān)鍵是在不計繩重和摩擦?xí)r，用好公式F=$\frac{1}{n}$（G+G_動）．