Question

5．如圖所示，甲、乙兩個相同的輕質(zhì)薄壁圓柱形容器（高為1米，底面積為5×10^-2米²）放置在水平地面上，且容器內(nèi)盛有0.8米深的水和酒精．（酒精的密度為0.8×10³千克/米³）
（1）求甲容器中水的質(zhì)量m．
（2）求酒精對容器乙底部的壓強p_酒精．
（3）現(xiàn)將密度為ρ的實心物體A先后慢慢放入水和酒精中，發(fā)現(xiàn)兩容器都有液體溢出，當(dāng)物體A靜止后，甲、乙容器對地面的壓強增加量相同，且溢出的酒精的體積為10×10^-3米³．求物體A的密度．

Answer 1

分析 （1）求出容器內(nèi)水的體積，利用m=ρV求水的質(zhì)量；                                  
（2）知道酒精的深度，利用p=ρgh求酒精對容器乙底部的壓強；    
（3）設(shè)溢出的水重為△G_水，溢出的酒精重為△G_酒精，根據(jù)△p_甲=△p_乙可得$\frac{{G}_{A}-△{G}_{水}}{{S}_{容器}}$=$\frac{{G}_{A}-△{G}_{酒精}}{{S}_{容器}}$，從而得出△G_水=△G_酒精，則溢出的水和酒精的體積$\frac{△{V}_{水}}{△{V}_{酒精}}$=$\frac{{ρ}_{酒精}}{{ρ}_{水}}$=$\frac{4}{5}$；
通過分析確定小球A只可能漂浮在水面上、浸沒在酒精中；V_A=V_排酒精=V₀+△V_酒精，△V_水=$\frac{4}{5}$△V_酒精，而m_A=m_排水=ρ_水（V₀+△V_水），利用密度公式求A的密度．

解答 解：
（1）容器內(nèi)水的體積：
V_水=S×h_水
=5×10^-2m²×0.8m=4×10^-2m³，
由ρ=$\frac{m}{V}$得水的質(zhì)量：
m_水=ρ_水V_水=1.0×10³kg/m³×4×10^-2m³=40kg；                                  
（2）酒精對容器乙底部的壓強：
p_酒=ρ_酒g h_酒
=0.8×10³kg/m³×9.8N/kg×0.8m=6272Pa；    
（3）設(shè)溢出的水重為△G_水，溢出的酒精重為△G_酒精，
因為△p_甲=△p_乙，即：
$\frac{{G}_{A}-△{G}_{水}}{{S}_{容器}}$=$\frac{{G}_{A}-△{G}_{酒精}}{{S}_{容器}}$，
所以△G_水=△G_酒精，
溢出的水和酒精的體積：
$\frac{△{V}_{水}}{△{V}_{酒精}}$=$\frac{{ρ}_{酒精}}{{ρ}_{水}}$=$\frac{0.8×1{0}^{3}kg/{m}^{3}}{1×1{0}^{3}kg/{m}^{3}}$=$\frac{4}{5}$，
假設(shè)小球A漂浮在酒精液面上（它也漂浮在水面上），F(xiàn)_浮大小都等于小球A的重力大小G_A，
設(shè)容器液面上方的空間體積為V₀，
則：ρ_酒精g（V₀+△V_酒精）=ρ_水g（V₀+△V_水）
所以$\frac{{ρ}_{酒精}}{{ρ}_{水}}$=$\frac{{V}_{0}+△{V}_{水}}{{V}_{0}+△{V}_{酒精}}$＞$\frac{△{V}_{水}}{△{V}_{酒精}}$，
所以本假設(shè)不成立；
假設(shè)小球都浸沒在液體中，則：V_排水=V_排酒精
所以$\frac{△{V}_{水}}{△{V}_{酒精}}$=$\frac{{V}_{排水}-{V}_{0}}{{V}_{排酒精}-{V}_{0}}$=$\frac{1}{1}$，
所以本假設(shè)不成立．
所以小球A只可能漂浮在水面上、浸沒在酒精中．
因此，V_A=V_排酒精=V₀+△V_酒精
=5×10^-2m²×0.2m+10×10^-3m³=2×10^-2m³
△V_水=$\frac{4}{5}$△V_酒精=$\frac{4}{5}$×10×10^-3m³=8×10^-3m³
m_A=m_排水=ρ_水（V₀+△V_水）
=1.0×10³kg/m³×（5×10^-2m²×0.2m+8×10^-3m³）
=18kg，
ρ_A=$\frac{{m}_{A}}{{V}_{A}}$=$\frac{18kg}{2×1{0}^{-2}{m}^{3}}$=0.9×10³kg/m³．
答：（1）甲容器中水的質(zhì)量為40kg；
（2）酒精對容器乙底部的壓強為6272Pa；
（3）物體A的密度為0.9×10³kg/m³．

點評 本題考查了密度公式、壓強、液體壓強公式的應(yīng)用，難點在第（3）問，先討論確定小球在水、酒精中的狀態(tài)是關(guān)鍵．