Question

（2013?和平區(qū)二模）一場大雪后，地上積了很厚的雪，小明對地上的積雪發(fā)生興趣，開始進行研究．
（1）為了測量積雪的密度，小明設計了“根據積雪地上的腳印深度進行估算”的方法．他利用一塊平整地面上的積雪，用腳豎直向下踩在雪上，形成一個向下凹的腳�。�腳印下的雪由于受外力擠壓可近似看成冰層）然后通過測量積雪原來的厚度H，用腳踩后在雪地上形成腳印的深度h，就可以估測雪的密度．請推導雪的密度表達式．（已知冰的密度ρ_冰）
（2）當路面上有積雪和結冰時，會危及交通的安全．為盡快消除路面積冰，護路工人常在路面上撒鹽來降低凝固點，以避免“夜凍晝化”現(xiàn)象．若已知地面積冰厚度為l，冰的密度為ρ_冰，鹽的濃度（鹽的質量與總質量的百分比）與凝固點之間的關系如表所示，當環(huán)境溫度為-3℃時，撒鹽車應在每平方米的冰面上撒質量是多少的鹽才能去除路面上的積冰？

鹽的濃度（%）	0	5	10	15	20
凝固點（℃）	0	-3	-7.5	-12	-17

（3）雪地車有時也稱全地形軍用輸送車，當雪地車在松軟的雪地上行駛時，所受阻力主要源于履帶或車輪與雪層的擠壓．如圖所示，某型號的履帶式雪地車的每根履帶寬為d，與雪地接觸的壓強為p，當雪地車以速度v在雪地上勻速行駛時，在雪層上造成的雪溝深度為h．試估算在時間t內雪地車克服雪層阻力做功的大�。�

Answer 1

分析：（1）雪被踩前后，質量和腳印的面積是不變的．已知雪的深度和腳印的深度，可以知道踩實后的冰的深度；根據雪的深度、冰的深度和腳印的深度，可以得到雪和冰的體積；雪和冰質量不變，根據m=ρV得到雪和冰密度、體積等量關系式，最后得出雪的密度表達式．
（2）已知冰雪的凝固溫度和對應的鹽水濃度，只要得出此時每平方米水的質量就能得出需要的食鹽的質量．
（3）已知雪地車在雪地上的速度，可以知道在一定時間內行駛的距離；已知履帶的寬度和行駛的距離，可以知道雪地車碾過雪地的面積；已知雪地車對雪地的壓強和碾過雪地的面積，可以得到雪地車對雪地的壓力；已知對雪地的壓力和雪溝深度，可以得到雪地車對雪地所做的功；

解答：解：
（1）設腳印的面積為S，則
雪的體積V_雪=SH，冰的體積V_冰=S（H-h）
根據密度公式ρ=

m

V

得

ρ雪

ρ冰

=

V冰

V雪

=

H-h

H

，
∴ρ_雪=

ρ冰(H-h)

H

，
（2）設每平方米的冰的質量為m，
m=ρ_冰V_冰=ρ_冰×1m²×l，
由表格知：-3℃時應撒鹽的濃度為5%，
則有

m鹽

m鹽+m

=5%，
所以撒鹽的質量為m_鹽=

m

1-5%

=

ρ冰×1m2×l

1-5%

，
（3）設雪地車在雪地行駛的時間為t，
則t時間內前進的距離L=vt，
壓下雪的面積S=L2d=2vtd，
∵p=

F

S

，
∴F=pS=p×2vtd，
∴克服雪層阻力做功W=Fh=pSh=p×2vtd×h=2pvtdh
答：（1）雪的密度表達式ρ_雪=

ρ冰(H-h)

H

；
（2）每平方米需撒鹽的質量為

ρ冰×1m2×l

1-5%

kg；
（3）在時間t內雪地車克服雪層阻力做功2pvtdh．

點評：此題是力學中的一道綜合題，難度很大．解決的關鍵是在掌握基本物理規(guī)律的基礎上找準等量關系，綜合應用比例法、方程法．