Question

用同種鋁合金制成質量相等的金屬盒和實心球各一個．若把球放在盒內密封后，它們恰能懸浮在水中，如圖甲所示；若把球和盒用細繩相連，放入水中靜止后，盒有體積露出水面，此時細繩的拉力為20N，如圖乙所示．g=10N/kg，試求：
（1）圖甲中球對盒的壓力為多少？
（2）這種鋁合金的密度ρ_金是多少？
（3）圖乙中若剪斷繩子，盒靜止時露出水面的體積多大？
（4）盒內最多能裝多少牛頓的水？

Answer 1

【答案】分析：對選定的研究對象進行受力分析，為了解題的方便我們先設定物理量，金屬盒的體積為：v_盒，金屬球的體積為：v_球，二者的質量為：m（二者質量相等），首先選圖甲中盒與球整體 作為研究對象，兩者之間相互作用力為內力，對于整體只受浮力和重力，甲乙兩種情況，一次懸浮，一次漂浮，均有F_浮=ρ_水gv_排，即兩次排開水的體積相同，可得：，；
而F_浮=ρ_水gv_排=ρ_水gv_盒=G=2mg=2ρ_鋁gv_球，所以有：ρ_鋁=3ρ_水=3×10³kg/m³①，再次對甲乙兩圖，盒和球進行受力分析：甲圖中金屬盒懸浮時有：2mg=ρ_水gv_排（v_盒=v_排）；乙圖中金屬球懸在金屬盒下面時：金屬球進行受力分析有 mg+20N=；對金屬盒進行受力分析有：mg=20N+ρ_水gv_球，解之：v_盒=6×10^-3m³，m=3kg，v_球=10^-3m³；這些量知道了再求球對盒的壓力F_壓=G_球=mg=3kg×10N/kg=30N，以及當繩子剪斷后，金屬盒露出液面的體積：v_露=v_盒-v_排1=3×10^-3m³，又，所以，盒內裝水重為：G_水=ρ_水gv_水=1.0×10³kg/m³×10N/kg×5×10^-3m³=50N．
如此將問題逐一解決．
解答：解：設金屬盒的體積為：v_盒，金屬球的體積為：v_球，二者的質量為：m（二者質量相等），
甲乙兩種情況，一次懸浮，一次漂浮，均有F_浮=ρ_水gv_排，即兩次排開水的體積相同，可得：
，；
而F_浮=ρ_水gv_排=ρ_水gv_盒=G=2mg=2ρ_鋁gv_球，所以有：ρ_鋁=3ρ_水=3×10³kg/m³
（2）對甲乙兩種情況，進行受力分析：
金屬盒懸浮時有：2mg=ρ_水gv_排（v_盒=v_排）
金屬球懸在金屬盒下面時：對金屬盒進行受力分析有 mg+20N=
對金屬球進行受力分析有：mg=20N+ρ_水gv_球
解之：v_盒=6×10^-3m³，m=3kg，v_球=10^-3m³；
金屬球的密度ρ_金==3×10³kg/m³；
球對盒的壓力F_壓=G_球=mg=3kg×10N/kg=30N
當繩子剪斷后，金屬盒受力為：mg=ρ_水gv_排1
所以，
所以，露出液面的體積：v_露=v_盒-v_排1=3×10^-3m³
又
所以，盒內裝水重為：G_水=ρ_水gv_水=1.0×10³kg/m³×10N/kg×5×10^-3m³=50N
答：（1）圖甲中球對盒的壓力30N；
（2）這種鋁合金的密度ρ_金是3×10³kg/m³；
（3）圖乙中若剪斷繩子，盒靜止時露出水面的體積3×10^-3m³；
（4）盒內最多能裝50牛頓的水．
點評：此題為一道難度較大的推理計算題，解決此類問題的方法為：①選定的研究對象并進行受力分析（最好畫出受力分析圖）．②設定未知量一般為選項或題目所求物理量．③把兩個物體視作整體，即整體法 列一個方程．④再將兩個物體分別作為研究對象，即隔離法 再列兩個方程．