Question

19．質量為 300g、高 10cm 的木塊放在底面積 100cm²的足夠深的容器中，下端用 10cm 的細繩與容器底部相連（g=10N/kg，ρ木=0.6×10³kg/m³，繩子重力不計）． 求：
（1）向杯中注入多少 ml 的水，細線剛好拉直．
（2）繼續(xù)注水直到木塊完全浸沒在水中，如圖所示，求繩子的拉力．
（3）剪斷繩子，容器中水對容器底部的壓強會怎樣變化？變化多少？

Answer 1

分析 （1）當細線剛好拉直時，此時木塊受到的浮力等于其重力，據(jù)此列出等式可求得木塊排開水的體積，然后可求得木塊浸入水的深度，已知細繩為10cm，容器的底面積已知，根據(jù)V=Sh可求得水的體積．
（2）根據(jù)密度公式變形可求得木塊的體積，繼續(xù)注水直到木塊完全浸沒在水中，${V}_{排}^{′}$=V_木，此時浮力等于物體的重力加上拉力，據(jù)此可求得繩子的拉力；
（3）由于木塊的密度小于水的密度，所以剪斷繩子后木塊將上浮，此時容器中水的液面下降，木塊漂浮時所受的浮力等于它自身的重力，可得浮力的大小，根據(jù)阿基米德原理求排開水的體積，可求排開水的體積變化，知道容器底面積，可求水深的變化量，再利用液體壓強公式求容器底所受壓強改變量．

解答 解：（1）當細線剛好拉直時，此時木塊受到的浮力等于其重力，如圖所示：

此時F_浮=G=m_木g=ρ_木 gV_木，
由F_浮=G_排，可得，
即ρ_水gV _排=ρ_木 gV_木，
ρ_水S_木h_浸=ρ_木S_木h_木，
則h_浸=$\frac{{ρ}_{木}}{{ρ}_{水}}$•h_木=$\frac{0.6×1{0}^{3}kg/{m}^{3}}{1×1{0}^{3}kg/{m}^{3}}$×0.1m=0.06m=6cm；
則水的深度h=h_浸+h_細繩=6cm+10cm=16cm=0.16m，
由ρ=$\frac{m}{V}$可得，
木塊的體積V_木=$\frac{{m}_{木}}{{ρ}_{木}}$=$\frac{0.3kg}{0.6×1{0}^{3}kg/{m}^{3}}$=0.5×10^-3m³，
木塊的面積S_木=$\frac{{V}_{木}}{{h}_{木}}$=$\frac{0.5×1{0}^{-3}{m}^{3}}{0.1m}$=5×10^-3m²，
則水的體積V_水=S_容h-V_排=1×10^-2m²×0.16m-5×10^-3m²×0.06m=1.3×10^-3m³=1300cm³=1300ml；
（2）繼續(xù)注水直到木塊完全浸沒在水中，${V}_{排}^{′}$=V_木=0.5×10^-3m³，
此時物體的受力情況如圖所示：

${F}_{浮}^{′}$=G+F，
即ρ_水gV_木=mg+F，
則F=ρ_水gV_木-mg=1×10³kg/m³×10N/kg×0.5×10^-3m³-0.3kg×10N/kg=2N，
（3）由于木塊的密度小于水的密度，所以剪斷繩子后木塊將上浮，此時水面將下降，由p=ρgh可知，容器中水對容器底部的壓強會減�。�
靜止時木塊將漂浮，漂浮時，
F_浮″=G_木=mg=0.3kg×10N/kg=3N，
F_浮″=ρ_水gV_排′，
則V_排′=$\frac{{F}_{浮}^{″}}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{3N}{1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×10N/kg}$=3×10^-4m³，
△V_排=0.5×10^-3m³-3×10^-4m³=2×10^-4m³，
水深變化：△h=$\frac{{△}_{排}}{{S}_{容}}$=$\frac{2×1{0}^{-4}{m}^{3}}{1×1{0}^{-2}{m}^{3}}$=0.02m，
則變化的壓強△p=ρ_水g△h=1×10³kg/m³×10N/kg×0.02m=200Pa．
答：（1）向杯中注入多少 1300ml 的水，細線剛好拉直．
（2）繼續(xù)注水直到木塊完全浸沒在水中，繩子的拉力為2N．
（3）剪斷繩子，容器中水對容器底部的壓強會減小，變化量為200Pa．

點評 本題為力學綜合題，考查了學生對重力公式、密度公式、液體壓強公式、阿基米德原理、物體的漂浮條件、力的合成的掌握和運用，能求出水深變化是本題的關鍵．