已知函數(shù)f（x）=sinx+acosx（x∈R），
π
4
是函數(shù)f（x）的一個(gè)零點(diǎn)，
（1）求a的值，并求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若α、β∈（0，
π
2
），且f（α+
π
4
）=
10
5
，f（β+
3π
4
）=
3
5
5
，求sin（α+β）．
考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù)
專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)
分析：（1）利用函數(shù)零點(diǎn)的定義列出方程，求出a的值再代入解析式，利用兩角差的正弦公式化簡解析式，再由整體思想和正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間求出f（x）的增區(qū)間；
（2）由（1）和條件分別求出sinα、cosβ，再由角的范圍和平方關(guān)系求出cosαsinβ，利用兩角和的正弦公式求出sin（α+β）的值．
解答： 解：（1）因?yàn)?span id="u0nvzvr" class="MathJye">
π
4
是函數(shù)f（x）的一個(gè)零點(diǎn)，
所以sin
π
4
+acos
π
4
=0，解得a=-1，
則f（x）=sinx-cosx=
2
sin(x-
π
4
)，
由2kπ-
π
2
≤x-
π
4
≤2kπ+
π
2
(k∈Z)得，2kπ-
π
4
≤x≤2kπ+
3π
4
(k∈Z)，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[2kπ-
π
4
，2kπ+
3π
4
](k∈Z)；
（2）由（1）得，f(x)=
2
sin(x-
π
4
)，
因?yàn)閒（α+
π
4
）=
10
5
，f（β+
3π
4
）=
3
5
5
，
所以
2
sinα=
10
5
，
2
sin(β+
π
2
)=
3
5
5
，
化簡得sinα=
5
5
，cosβ=
3
10
10
，
因?yàn)棣�、β∈�?，
π
2
），所以cosα=
1-sin2α
=
2
5
5
，
sinβ=
1-cos2β
=
10
10
，
所以sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ
=
5
5
×
3
10
10
+
2
5
5
×
10
10
=
2
2
．
點(diǎn)評：本題考查兩角差與和的正弦公式，平方關(guān)系，函數(shù)零點(diǎn)的定義，以及正弦函數(shù)的單調(diào)性，注意角的范圍和三角函數(shù)值的符號(hào)，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

直線l過點(diǎn)（-4，0）且與圓（x+1）2+（y-2）2=25交于A，B兩點(diǎn)，如果|AB|=8，那么直線l的方程為（　　）
A、5x-12y+20=0
B、x+4=0或5x-12y+20=0
C、5x+12y+20=0或x+4=0
D、x+4=0

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知
m
=（sinx，-1），
n
=（
3
cosx，-
1
2
），函數(shù)f（x）=
m
2+
m
•
n
-2
（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間
（2）將函數(shù)f（x）的圖象的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍，在向左平移
π
3
的單位，得到函數(shù)g（x），若△ABC的三邊a，b，c所對的角為A，B，C，且三邊a，b，c成等差數(shù)列，且g（B）=
3
2
，試求（cosA-cosC）2的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）命題“若x2-3x+2=0，則x=1“的逆命題為“若x≠1，則x2-3x+2=0”；
（2）定義在R上的奇函數(shù)f（x），滿足f（x+2）=-f（x），則f（6）=0；
（3）函數(shù)y=log2x+x2-2在區(qū)間（1，2）內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)；
（4）已知p：?x∈R，sinx≤1，q：若a＜b，則am2＜bm2，則p∧q為真命題．
其中正確命題的序號(hào)是
 
（寫出所有正確命題的序號(hào)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓C的方程為x2+y2=4，直線l的方程為（λ-1）x+（λ-1）y+1-λ=0（λ∈R）直線l與圓C交于PQ兩點(diǎn)，設(shè)O為原點(diǎn)．求證：對任意實(shí)數(shù)λ直線l過定點(diǎn)E．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=log2（1+x）+alog2（1-x）為奇函數(shù)，解不等式：f-1（x）＜
1
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

△ABC中，cosA=
b
c
，則△ABC形狀是（　�。�
A、正三角形
B、直角三角形
C、等腰三角形或直角三角形
D、等腰直角三角形

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知直線l1的方向向量
a
=（2，4，x），直線l2的方向向量
b
=（2，y，2），若|
a
|=6，且
a
⊥
b
，則x+y的值是（　　）
A、-3或1B、3或-1
C、-3D、1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若acosB+bcos（B+C）=0，則△ABC一定是
 
三角形．

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同步練習(xí)冊答案