Question

（理） 已知，其中是自然常數(shù)，[
（1）討論時(shí), 的單調(diào)性、極值；
（2）求證：在（Ⅰ）的條件下，;
（3）是否存在實(shí)數(shù)，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）當(dāng)時(shí)，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)，f(x)單調(diào)遞增 ；極小值為f(1)=1 ；
（2） ；（3）   .解析:
第一問(wèn)中利用導(dǎo)數(shù)，然后對(duì)x討論，因?yàn)閤>0，那么分為兩段討論得到函數(shù)的單調(diào)性，和極值。
解：（Ⅰ） ……1分
∴當(dāng)時(shí)，，此時(shí)f(x)單調(diào)遞減
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)f(x)單調(diào)遞增   ……3分
∴f(x)的極小值為f(1)=1                        ……4分
（Ⅱ） f(x)的極小值為1，即f(x)在(0,e】上的最小值為1，
∴，                  ……5分
令 ……6分
當(dāng)時(shí)，，在(0,e】上單調(diào)遞增 ……7分
∴ 
∴在（1）的條件下，          ……9分
（Ⅲ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使（）有最小值3，
                     ……10分
①   當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，，（舍去），所以，此時(shí)無(wú)最小值.            ……12分
②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
，滿足條件. ……13分
③ 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，，（舍去），所以，此時(shí)無(wú)最小值.綜上，存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)有最小值3.
…………………………………………………………………………………………………….14分