Question

【題目】半徑為R的圓環(huán)固定在水平桌面上，不可伸長的柔軟輕細(xì)繩全部纏繞在環(huán)外側(cè)，繩末端系一質(zhì)量m的小球，開始時(shí)小球緊貼圓環(huán)。時(shí)刻使小球獲得背離環(huán)心的水平速度V，于是細(xì)繩從環(huán)外側(cè)打開，設(shè)打開過程中細(xì)繩始終處于伸直狀態(tài)，且與環(huán)間無相對(duì)滑動(dòng)，小球與桌面間無摩擦。

(1).計(jì)算時(shí)刻小球相對(duì)環(huán)心的角動(dòng)量L；

(2). 利用小球的運(yùn)動(dòng)，驗(yàn)證質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理。

Answer 1

【答案】(1) (2)證明見解析

【解析】

(1).繩不可伸長且打開的繩段處于伸直狀態(tài)，小球速度υ必與繩長方向垂直，或者說v與繩的拉力T垂直，后者不做功。小球與桌面無摩擦，動(dòng)能不變，速率v恒定，建立豎直向上的z軸，參照?qǐng)D示參量，小球相對(duì)環(huán)心O的角動(dòng)量為

。

式中l為t時(shí)刻已打開的繩段長度。在時(shí)刻再打開的無窮小繩段長

。

已打開的繩段旋轉(zhuǎn)叫速度為。

小球速度。

于是得。

因時(shí)，，積分可得。

便有。

(2).由于小球的速率不變，故小球運(yùn)動(dòng)時(shí)無切向加速度，只有法向加速度，故小球運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度大小為，方向沿繩指向打開點(diǎn)。

繩拉力，方向沿繩指向打開點(diǎn)。

此力相對(duì)環(huán)心O的力矩為

。

又，

將代入，即得。

這就驗(yàn)證了質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理。