Question

【題目】如圖甲所示是一定量理想氣體狀態(tài)變化所經(jīng)歷的圖線，該圖線是以C點(diǎn)為圓心的圓,p軸是以為單位，Τ軸以為單位。、分別是C點(diǎn)壓強(qiáng)和熱力學(xué)溫度。若已知在此過(guò)程中氣體所經(jīng)歷的最低溫度為，則在此過(guò)程中，氣體密度的最大值和最小值的比值應(yīng)等于多少？

Answer 1

【答案】

【解析】

由理想氣體狀態(tài)方程得到。

對(duì)于一定量的氣體，C是一個(gè)常數(shù)。

由上式可知，在圖上，一定量理想氣體的等容過(guò)程是由一條過(guò)原點(diǎn)O的直線來(lái)表示的，而且該氣體的體積愈大，表示等容過(guò)程的直線的斜率愈小，因此判斷在題圖給出的圓過(guò)程中何點(diǎn)氣體密度最小、何點(diǎn)密度最大時(shí)，可由原點(diǎn)O對(duì)該圓作一系列相交的直線，如圖乙所示，其中斜率最大的直線為與圓上方相切的切線OA,斜率最小的直線為與圓下方相切的切線OB，由此可知該一定量氣體在變化過(guò)程中，在切點(diǎn)Α,該氣體的體積最大，在切點(diǎn)Β，該氣體的體積最小，對(duì)一定量氣體來(lái)說(shuō)，其密度與體積成反比，即

。

其中，、分別是該氣體在Α、B點(diǎn)的體積，設(shè)以和、和分別表示該氣體在Α、B點(diǎn)的壓強(qiáng)和溫度，則由理想氣體狀態(tài)方程得到

。

代入上式得到。

上式可改寫成。

角β的意義如圖乙所示，從圖中可以看出，故上式可改寫成

。

由圖中可以看出，CB是圓的半徑r，，。代入上式并化簡(jiǎn)，可得到

。

由圖可以看出，圓的半徑r與在變化過(guò)程中的氣體所經(jīng)歷的最低溫度的關(guān)系是

。

將此關(guān)系代入上式就可得到