Question

【題目】如圖甲所示，有兩個(gè)等質(zhì)量的小球，在一光滑的水平直滑槽AB內(nèi)運(yùn)動(dòng)，滑槽兩端有固定的壁。兩球之間及小球與壁之間的碰撞都是完全彈性的（即兩球經(jīng)過碰撞交換速度）．開始時(shí)，1、2兩球分別位于將滑槽三等分的兩個(gè)分點(diǎn)處，兩球不等速但同方向。

(1)．若兩球之間的第二次碰撞是在滑槽中點(diǎn)迎面相碰，求兩球初速的比值；

(2)．若兩球之間的第5次碰撞是在滑槽中點(diǎn)迎面相撞，求兩球初速的比值，并回答滿足要求的解有幾種。

提示：可以先求出滿足要求的一種解（即初速比值），再求出滿足要求的所有的可能解。

Answer 1

【答案】（1）（2），時(shí)，； ，時(shí)，： ，時(shí)，； ，時(shí)，； ，時(shí)，。

【解析】

由于小球可視為質(zhì)點(diǎn)且質(zhì)量相同，碰撞又是完全彈性的，所以兩球每次碰撞之后，相互“交換速度”。因此，可以把兩個(gè)小球的運(yùn)動(dòng)過程等效為兩個(gè)彼此互不相碰的小球各自獨(dú)立按自己的初速在兩墻壁間運(yùn)動(dòng)。下面所說的兩小球就是指這樣的兩個(gè)等效的小球。

對(duì)這種情況，可使用圖乙所示的圖來說明兩小球在各時(shí)刻的位置。A、B為導(dǎo)軌的兩端，設(shè)小球1的初速為，其在導(dǎo)軌中的單獨(dú)運(yùn)動(dòng)如圖中的實(shí)線所示，小球2的初速為，其單獨(dú)運(yùn)動(dòng)如圖中虛線所示（設(shè)）。實(shí)線與虛線的每個(gè)交點(diǎn)都代表一次碰撞。

1．如圖丙所示，設(shè)AB長(zhǎng)為l，則到第2次碰撞（為迎面相碰）時(shí)，小球1、2走過的路程分別為，

，

可得。

2．一種解可參看圖丙所示求得。此時(shí)

，

，

所以。

下面考慮滿足要求的所有可能解，設(shè)在t時(shí)刻兩小球在滑槽中點(diǎn)相碰，則小球1、2所經(jīng)過的路程分別為，。

式中n與k可為零或任何正整教。由上述兩式得到。

按本題要求，兩球在滑槽中點(diǎn)相碰前必須經(jīng)過4次碰撞，兩球在中點(diǎn)的碰撞為迎面相碰，則兩球中必須至少有一小球路程大于，小于，因而n、k中必須至少有一個(gè)為4，另一個(gè)的取值則可為0、1、2、3、4。又當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，小球1在t時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方向?yàn)橛?/span>B向A，n為偶數(shù)時(shí)為由A向B；k為奇數(shù)時(shí)，小球2在t時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方向?yàn)橛?/span>A向B，k為偶數(shù)時(shí)為由B向A。若要兩球在t時(shí)刻迎面相碰，必須為偶數(shù)。故取值只能是，，，，5種。代入上式得

，時(shí)，；

，時(shí)，：

，時(shí)，；

，時(shí)，；

，時(shí)，。

共5種解。