Question

【題目】等重的兩個(gè)木塊由一根不可伸長(zhǎng)的輕繩相連，放在傾角為的斜面上，兩木塊與斜面的靜摩擦因數(shù)分別為和，已知，。問(wèn)：繩子與斜面上的最大傾斜線之間的夾角應(yīng)滿足什么限制，它們才能在斜面上保持靜止？

Answer 1

【答案】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

【解析】

一個(gè)物體能夠靜止在斜面上，其靜摩擦系數(shù)應(yīng)滿足條件.

由于本題已知和，可知，，木塊1能單獨(dú)在斜面上保持靜止，而木塊2不能。現(xiàn)在兩木塊由細(xì)繩連接，當(dāng)木塊1在高處且繩子方位適當(dāng)，拉直的繩子有可能阻止木塊2滑動(dòng)，同時(shí)木塊1不被繩子拉動(dòng)。

設(shè)平衡時(shí)木塊如圖甲所示放置。

圖乙為斜面上兩木塊平衡時(shí)的受力圖，虛線為斜面上最大傾斜線的方向。因?yàn)樵?/span>足夠大時(shí)，不能靜止，將有滑動(dòng)。在很小時(shí)（例如），很容易判定和作為整體沿斜面方向無(wú)滑動(dòng)，保持平衡。所以在從0到足夠大中間必有一個(gè)位置使處于臨界狀態(tài)，靜摩擦力達(dá)最大。

我們先考慮木塊2，其臨界狀態(tài)下由三個(gè)力作用：重力在方向的分力；繩中張力；臨界時(shí)的摩擦力。由題中已知條件，有，所以.

如圖丙所示，作矢量圖，使，方向與平行，再以為圓心，為半徑作圓，點(diǎn)必在圓外。過(guò)點(diǎn)作圓的切線，為切點(diǎn)。則，，方向指向點(diǎn)。因?yàn)?/span>，所以垂直于兩木塊間的繩子。是使木塊2處于臨界的最大張力，對(duì)應(yīng)的是繩與的最大交角。這是因?yàn)椋�雖然從點(diǎn)出發(fā)，在小于的方向畫一直線與圓相交有兩個(gè)交點(diǎn)，較遠(yuǎn)的交點(diǎn)對(duì)應(yīng)于大的，這個(gè)對(duì)應(yīng)的最大靜摩擦力使木塊2有縮短繩子或有往上運(yùn)動(dòng)的傾向。這不符合事實(shí)，所以，是木塊2保持靜止的最大可能值。

再考察木塊1的受力情況。為了方便，在圖丙中相對(duì)于點(diǎn)作一個(gè)與圓對(duì)稱的圓。木塊1也受三個(gè)力作用：重力沿方向的分力（與木塊2相同）；繩中張力，大小與木塊2受到的張力相等，方向相反，在圖丙上對(duì)應(yīng)于點(diǎn)有點(diǎn)（當(dāng)然，對(duì)應(yīng)于有，這由角決定）；摩擦力，如果三力平衡，則三個(gè)力矢量可構(gòu)成封閉三角形。在木塊2上存在作用的繩中張力的條件下，代表作用在木塊1上所必須提供的摩擦力.

如果木塊2臨界平衡時(shí)受到繩中張力較小，則也小，點(diǎn)變?yōu)?/span>點(diǎn)（圓上）。相對(duì)于對(duì)稱的圓上必有對(duì)稱的點(diǎn)。從圖丙看出，為使質(zhì)點(diǎn)1達(dá)平衡（即三個(gè)力矢量構(gòu)成封閉三角形），所必須提供的摩擦力的最大值應(yīng)等于或大于。這是由木塊2處于臨界平衡狀態(tài)的最大角決定的。

我們來(lái)判定一下平衡的可能性，為此比較力：和.

①若，即必須提供的大于可能提供的最大靜摩擦力，在繩子與方向夾角為時(shí)，木塊1不能保持平衡。

②若，在繩子與方向夾角為時(shí)，木塊1可以保持平衡。

如果屬情況②，那么保持系統(tǒng)平衡的最大角是；如果屬情況①，我們將繼續(xù)尋找這個(gè)角，使.系統(tǒng)達(dá)平衡時(shí)，繩子與方向夾角必須小于或等于這個(gè)角.

為求，先確定與，由圖丙得

.

又，

為了在位形處系統(tǒng)保持平衡，如圖丙所示，要求達(dá)到的數(shù)值，可從求得：

.

又有木塊1的最大靜摩擦力，

為確定和間的大小關(guān)系，暫設(shè)，

即，

整理得.

在題中要求的條件下，有結(jié)論：

i. ，要求；

ii. ，要求.

即，當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)達(dá)平衡的條件是繩的最大傾斜角，因此，系統(tǒng)達(dá)平衡要求，

即.

當(dāng)時(shí)，在繩的傾斜角處，木塊1不能平衡，而只能在的某個(gè)角才能平衡。我們來(lái)求這個(gè)臨界的角，在此

.

利用木塊1、2達(dá)臨界時(shí)的受力圖丙中兩個(gè)三角形和，得

，

.

兩式相加、相減得

，

.

聯(lián)立求解得到，

.

這個(gè)結(jié)果說(shuō)明：當(dāng)時(shí)，為使系統(tǒng)保持平衡，繩的傾斜角應(yīng)滿足

.

最后結(jié)論：為使系統(tǒng)在斜面上保持靜止，繩子與斜面上的最大傾斜線之間的夾角應(yīng)滿足：

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，.