Question

【題目】如圖所示，長雪橇先在十分光滑的冰面上勻速滑行，然后滑上瀝青馬路，當(dāng)滑行到雪橇長度一半時(shí)便停了下來，然后再從后面猛地一推，使雪橇具有與在冰面上滑行時(shí)相同的初速度，雪橇重新滑行一段后又停了下來.求雪橇兩次減速的時(shí)間之比及減速的路程之比.

Answer 1

【答案】 ，

【解析】

雪橇在冰面上假設(shè)無摩擦，做勻速運(yùn)動(dòng)，其速度可以設(shè)為，進(jìn)入瀝青馬路，作為初速度.

再設(shè)雪橇長為，質(zhì)量為，當(dāng)雪橇壓在瀝青馬路上的長度為時(shí)，摩擦力為，其動(dòng)力學(xué)方程為

.

這顯然是簡諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力，其.

又由題意知：振幅.

所以，在這一過程中，減速時(shí)間與減速路程分別是

，.

下面討論第二種情況：

由于這種情況下雪橇壓在瀝青馬路上的長度變大，所以摩擦力變大，因此，在相同的初速度下，向右前進(jìn)的距離會(huì)小于，這表示在停止之前，雪橇仍然只有部分進(jìn)入瀝青馬路，故這一階段的動(dòng)力學(xué)方程與前一階段相同.

假設(shè)在第二種情況下，雪橇也是從開始運(yùn)動(dòng)的，只是到達(dá)時(shí)雪橇的速度為，設(shè)在此情況下，在時(shí)雪橇的速度為，由能量關(guān)系有

.

所以，.

而，所以，，即.

第一種情況：

，.

第二種情況：

由能量關(guān)系有

，

則，.

設(shè)雪橇速度從變到耗時(shí)為，則

，.

所以，，，

即.

所以，.

綜上所述：

雪橇再次減速的時(shí)間之比為

；

減速的路程之比為

.

對(duì)于本題，必須特別說明的是解題過程中對(duì)能量關(guān)系式的運(yùn)用.

本題所給出的是一個(gè)含有摩擦力背景的模型，這是一個(gè)含有能量耗散的模型，在這一背景下，機(jī)械能是不存在守恒的，但上述式看上去卻是典型的能量守恒式，我們?cè)撊绾卫斫膺@一問題.

在簡諧振動(dòng)中，動(dòng)能與其他形式的能量在相互轉(zhuǎn)化，振動(dòng)才能持續(xù)進(jìn)行，如在彈簧振子中，動(dòng)能與彈性勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化便導(dǎo)致了振動(dòng)的持續(xù)進(jìn)行，而且在這一過程中，動(dòng)能與勢(shì)能是保持守恒的.

而在這題所在背景下，是不存在與摩擦力相對(duì)應(yīng)的勢(shì)能的，表達(dá)式中的的部分也并非勢(shì)能，它體現(xiàn)的是物體在摩擦力作用下消耗的動(dòng)能大小，題中的關(guān)系式體現(xiàn)的是動(dòng)能向其他形式的能量轉(zhuǎn)化的關(guān)系，這種轉(zhuǎn)化是通過摩擦力來實(shí)現(xiàn)的，換句話說，表達(dá)式反映的是在振動(dòng)過程中動(dòng)能向熱能的轉(zhuǎn)化關(guān)系.

如果仔細(xì)閱讀解答中的表述，我們也不難發(fā)現(xiàn)，其表述用的是“能量關(guān)系”，而并非機(jī)械能守恒，所以，解答在能量的應(yīng)用方面也不存在任何問題.

從本題的解答中，我們不難體會(huì)到，如果對(duì)振動(dòng)過程中的能量特征沒有深刻的認(rèn)識(shí)，是無法做到突破“機(jī)械能守恒”的桎梏的.