【題目】如圖所示,三個大小、材質(zhì)完全相同的小行星,行星(a)上有一個從表面點到球心的很窄的、試驗用的、內(nèi)壁光滑的礦井;行星(b)上有一個從表面點到球心作為直徑的球形空腔;行星(c)因某種原因被運走了半個行星,只剩下一個規(guī)則的半球體.
(1)在(a)(b)兩行星表面點處無初速地掉入一物體,試計算,在兩顆行星中,從落至球心所用的時間之比以及撞擊點的速度之比.
(2)在行星(c)上,若在原來球形小行星表面的重力加速度為,問:余下半球圓形表面中心位置的重力加速度為多大?
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)我們首先討論試驗井的情況.
設小行星的密度為,半徑為,小物體的質(zhì)量為.當一個質(zhì)點處于球體內(nèi)部時,我們設想球體是由一個個均勻的球殼組成的,由于質(zhì)量分布均勻的球殼對其內(nèi)部質(zhì)點的作用力為零,加之試驗井的體積可忽略不計,則不難理解,質(zhì)點所受的引力為以其所在位置到球心的距離為半徑的球體對它的作用力(如圖乙所示).所以,小物體在試驗井中下落的過程中所受到的引力大小為
.
因此,小物體在試驗井中下落的過程中所受到的引力與到小行星中心的距離成正比,并總是指向其球心的.所以,小物體在下落的過程中受到的平均力為
.
對小物體的下落過程應用動能定理可得
,
即.
由此可得從試驗井中落下的小物體撞擊球心的速度為
.
另一方面,由于小物體在下落過程中的受力滿足:,且總是指向地心的,因此小物體的運動是一簡諧運動,從開始下落到地心的時間為個周期,即
,
式中,
所以,.
下面我們來討論第二個事件發(fā)生的情況.此時小行星內(nèi)部被開采了八分之一,當小物體從入口處落下時,將沿直線撞向球心,在這一過程中小物體的受力可這樣求得,設想將挖走部分重新填充,則小物體在下落的過程中受到的力為整個行星對它的引力與填充部分對它的引力之差,所以,當小物體距球心為時,距填充球的球心為,則小物體的受力為
.
顯然,在這種情況下,小物體在下落過程中所受到的力為恒力,與到球心的距離無關,即小物體在下落過程中做勻加速直線運動,其加速度為
,則
小物體的撞擊速度為.
小物體的下落時間為.
所以,這兩個小物體撞擊點的速度之比為
.
從點掉到點的時間之比為.
(2)先求.
由,即.
下面求半球體圓面中心處的.
把整個半球體分成個同心的、等厚的半球殼,每個半球殼的厚度為(),對于其中任意一個球殼,討論其對球心處引力場強的貢獻.
(i)與質(zhì)量的關系:正比于球殼的質(zhì)量,亦即正比于該球殼的半徑的平方();
(ii)與距離的關系:與距離的平方成反比,即.
由此可知,球殼對球心處的引力場與球殼的半徑無關,則這個等厚的球殼對球心點處的引力場強的貢獻是相等的.
所以,我們只需選出一個球殼作為代表,計算出它對球心點處的場強的貢獻,再乘上,即得到半球的球心處的引力場強;或者,將所選出的半球的質(zhì)量乘以,再計算其對球心的引力場強的貢獻亦可.
我們選擇最外層的、半徑為的那個半球殼為代表,該球殼的質(zhì)量為,則整個半球體對球心處的引力場強等效為質(zhì)量、半徑為的球殼對其球心處產(chǎn)生的引力場強.
質(zhì)量為的球殼對點處單位質(zhì)量的質(zhì)點的作用力等于處于點的單位質(zhì)量的質(zhì)點對半球殼的作用力,而這一作用力的大小通過壓強對半球體的作用情況進行類比可知,處在點處的單位質(zhì)量的質(zhì)點對半球體的作用力等于單位質(zhì)量的質(zhì)點對半球殼單位面積的作用力乘上.
所以,.
將與比較,易得.
本題是一道綜合程度極高的物理競賽試題.僅從本題解答過程中涉及的方法來看,我們不難看出,其解答涉及了基本的程序法、平均思想(求平均力)、割補法(在空腔中填充物質(zhì))、疊加法(球形空腔內(nèi)的受力與運動)、微元(半球分割為球殼)、等效(個球均用最外的球殼替代)、建模與假設(在球心處設置單位質(zhì)量的物體)、推理(作用力與無關的結(jié)論的得出)、類比(將球殼的受力與壓強的作用進行比較)等等,將這些方法集中在一道試題中進行應用,沒有足夠的能力,要順利地完成解答幾乎是不可能的.
在中學物理競賽的試題中,類似于上述情況的試題有很多,或同一問題可用多種方法求解,或某一解答可能需用到多種方法.很多情況下,雖然試題的背景、涉及的知識點各有不同,但可能涉及的方法卻是一致的.熟練地掌握了處理問題的各種方法,相信同學們處理問題時便會有事半功倍的效果.
但從另一方面講,本題中每個小間涉及的模型,在我們平時的訓練中也都出現(xiàn)過,我們也都能進行相關的處理,而將它們集中在一起,無疑增加了對象與過程,這是增加試題難度的基本形式,而我們的解答過程,實際上是一個拆解過程,將一道綜合題拆解成若干個小題,然后再將其“串”接起來,完成問題的解答.
科目:高中地理 來源: 題型:
【題目】讀甲、乙兩幅區(qū)域圖,回答下列問題。
(1)比較圖中M、N兩條河流水系特征的差異(至少回答4點)。
(2)分析圖中M、N兩條河流徑流量季節(jié)變化的差異及其原因。
⑶分別說出甲圖M河和乙圖N河航運價值低的主要原因
(4) 薩赫勒地區(qū)主要的環(huán)境問題是_______ __。乙圖N河流流域則由于__ _______________________,導致生態(tài)環(huán)境惡化(2分)
⑸分析甲圖中A處水修建利工程后,大壩上游庫區(qū)、下游河流水文特征發(fā)生了哪些變化?
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科目:高中地理 來源: 題型:
【題目】光滑的水平面上有兩塊完全相同的質(zhì)量均為的平板、,板以勻速向右運動,板上放著一個勻質(zhì)圓柱薄筒,半徑為,質(zhì)量也是,薄筒與兩板間的摩擦因數(shù)均為,薄筒和最初處于靜止狀態(tài),且接觸點離板左端的距離為,如圖所示.
某瞬間,、兩板發(fā)生完全非彈性碰撞,問:自碰撞時算起,經(jīng)多長時間圓柱開始在板上做純滾動?
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科目:高中地理 來源: 題型:
【題目】下圖中左圖為“亞洲水稻分布圖”,右圖為我國主要糧食作物分布示意圖”。讀圖完成下列各題。
(1)A地發(fā)展水稻種植業(yè)的有利氣候條件是_____。
(2)我國①②兩地比較,水稻種植的氣候條件更好的是_______地;③地農(nóng)業(yè)發(fā)展的主要制約因素是_______。
(3)④地的主要農(nóng)業(yè)地域類型是______。
(4)亞洲水稻生產(chǎn)商品率低的原因主要是________。
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科目:高中地理 來源: 題型:
【題目】下左圖為“泰國位置示意圖”,下右圖為“我國東北五常大米加工企業(yè)分布圖”。讀圖回答下列問題。
(1)泰國位于東南亞,其主要的農(nóng)業(yè)地域類型為______________,其農(nóng)業(yè)發(fā)展最有利的自然條件是___________,最有利的社會經(jīng)濟條件是_________;最不利的自然條件是____________。
(2)我國東北五常的水稻種植與泰國相比的不利因素為_________,我國東北農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的特點主要有_____、_________、__________。
(3)我國東北和泰國的香米,可以銷售到世界各地得益于__________和_______的發(fā)展。
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科目:高中地理 來源: 題型:
【題目】讀我國某省區(qū)部分縣城草地生產(chǎn)力分布示意圖,完成下面小題。
【1】該省區(qū)是
A. 新疆維吾爾自治區(qū)B. 寧夏回族自治區(qū)
C. 內(nèi)蒙古自治區(qū)D. 青海省
【2】圖示地區(qū)單位面積天然草地載畜量的空間分布特點是
A. 自東向西降低B. 自東向西增加
C. 自北向南降低D. 自北向南增加
【3】形成這種空間分布差異的主要自然因素是
A. 土壤B. 熱量C. 水分D. 地形
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科目:高中地理 來源: 題型:
【題目】考古發(fā)現(xiàn),孤懸于南太平洋中部的復活節(jié)島大約在公元600年前開始出現(xiàn)人類活動。如圖為“復活節(jié)島人口總量與環(huán)境承載力的關聯(lián)變化關系圖”,讀圖完成各題。
【1】據(jù)圖可知,復活節(jié)島 ( )
A. t1時期,純自然狀態(tài)提供的物資可養(yǎng)活人口不超過1000人
B. t2時期,農(nóng)業(yè)生產(chǎn)力的發(fā)展使環(huán)境承載力提高
C. t3時期,整個島嶼的社會、經(jīng)濟發(fā)展最為繁榮穩(wěn)定
D. t4時期,該島嶼的生態(tài)環(huán)境優(yōu)于t2時期
【2】關于復活節(jié)島人口數(shù)量與環(huán)境承載力的說法,正確的是 ( )
A. 人口數(shù)量必須低于環(huán)境承載力
B. 人口數(shù)量的變化只受環(huán)境承載力制約
C. 環(huán)境承載力的大小不受自然資源因素的影響
D. 環(huán)境承載力是維持人類與自然環(huán)境和諧發(fā)展的底線
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科目:高中地理 來源: 題型:
【題目】[城鄉(xiāng)規(guī)劃]陜西西咸新區(qū)將規(guī)劃建設成為生態(tài)文明、環(huán)境友好、設施現(xiàn)代、社會和諧、開放包容、彰顯歷史文化、產(chǎn)業(yè)有序集聚的主城功能新區(qū)和生態(tài)田園新城。圖為西咸新區(qū)規(guī)劃示意圖。回答下列問題。
(1)為實現(xiàn)西咸新區(qū)的規(guī)劃目標,在城市建設中必須保護 、 、 。
(2)規(guī)劃區(qū)生態(tài)用地的分布特點是 ,它的主要生態(tài)作用是 、 。規(guī)劃區(qū)內(nèi)農(nóng)林生產(chǎn)的發(fā)展方向是 。
(3)西咸新區(qū)的空間形態(tài)是 ,其優(yōu)點是 、 。
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科目:高中地理 來源: 題型:
【題目】港珠澳大橋?qū)⒂?017年年底建成通車,這是在“一國兩制”條件下,粵港澳三地首次合作建設的大型基礎設施。讀圖,完成下面小題。
【1】打造“珠三角”地區(qū)城市群過程中可能帶來的影響主要有( )
①城市熱島效應減弱、诩觿≠Y源、能源短缺 ③城市環(huán)境問題突出、苤榻谙坛卑l(fā)生頻率減少
A. ①② B. ②③
C. ③④ D. ①④
【2】港珠澳大橋建設對促進“珠三角”工業(yè)化、經(jīng)濟發(fā)展的影響有( )
①完善港珠澳之間的交通,提高運輸效率,促進物流業(yè)發(fā)展、诩訌娕c廣西的聯(lián)系,擴大交流,促進區(qū)域分工與合作、蹘印爸槿恰钡貐^(qū)旅游業(yè)發(fā)展,增加就業(yè)機會、芗訌姵青l(xiāng)之間的聯(lián)系,解決城市化過程中的問題
A. ①② B. ②③
C. ①③ D. ②④
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