Question

【題目】一宇宙人在太空（萬有引力可以忽略）玩壘球，遼闊的太空球場半側(cè)存在均勻電場E，另半側(cè)存在均勻磁場B，電場與磁場的分界面為平面，電場方向與界面垂直，磁場方向垂直紙面指向里。宇宙人位于電場一側(cè)距界面為h的P點(diǎn)，O點(diǎn)是P點(diǎn)至界面垂線的垂足，D點(diǎn)位于紙面上O點(diǎn)的右側(cè)，OD與磁場B的方向垂直，，如圖所示。壘球的質(zhì)量為m，且?guī)в须娏?/span>。

(1)宇宙人是否可能自P點(diǎn)以某個(gè)適當(dāng)?shù)耐稊S角（與界面所成的夾角）及適當(dāng)?shù)某跛俣?/span>投出壘球，使它經(jīng)過D點(diǎn)，然后歷經(jīng)磁場一次自行回至P點(diǎn)？試討論實(shí)現(xiàn)這一游戲，d必須滿足的條件并求出相應(yīng)、。

(2)若宇宙人從P點(diǎn)以初速度平行于界面投出壘球，要使壘球擊中界面上的某一D點(diǎn)，初速度的指向和大小應(yīng)如何？

Answer 1

【答案】（1） ，；， （2）見解析

【解析】

(1)（ⅰ）如圖1所示，以O為原點(diǎn)，作一直角坐標(biāo)系，使x軸與直線OD重合，y軸與直線OP重合。根據(jù)題中所給條件，若宇宙人在面內(nèi)將壘球投向y軸的右側(cè)，使壘球保持在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則在電場區(qū)，壘球做斜拋（或平拋）運(yùn)動(dòng)，當(dāng)壘球到達(dá)分界面上的D點(diǎn)時(shí)，其速度與x軸夾角為。進(jìn)入磁場區(qū)后，壘球沿半徑為R的圓弧運(yùn)動(dòng)，到達(dá)界面的另一點(diǎn)，又從進(jìn)入電場區(qū)做斜上拋運(yùn)動(dòng)。只要位于x軸上O點(diǎn)的左側(cè)，且，壘球就能自斜拋恰好回到P點(diǎn)。

由于， ①

因而。

設(shè)a為壘球在電場區(qū)垂直“下落”的加速度，得

， ②

所以

， ③

式中“+”與“－”分別對應(yīng)于在P點(diǎn)做斜上拋與斜下拋的情況。

設(shè)壘球從P點(diǎn)到D點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間為，則

， ④

而， ⑤

將②⑤式代入④式，得，

解得

。 ⑥

因③式和⑥式是實(shí)數(shù)，故必須滿足條件：

。

①若，

則由③式和⑥式可得，，

即，。

②若，

則有

，

。

式中根式前面取“+”號(hào)對應(yīng)于從P點(diǎn)做斜向上拋的運(yùn)動(dòng)，取“－”對應(yīng)于從P點(diǎn)做斜向下拋的運(yùn)動(dòng)（如圖1所示）。

③當(dāng)時(shí)，無論怎樣選取和，投出的壘球都無法按題中要求回至P點(diǎn)。

（ⅱ）在與D并不關(guān)于O點(diǎn)對稱的情況下，壘球亦有可能回到拋出點(diǎn)，此時(shí)，壘球在電場區(qū)域內(nèi)的運(yùn)動(dòng)構(gòu)成一段完整的拋物線，如圖2所示。

仍將分解為與，在磁場區(qū)域，由前面的解答易得。

在電場區(qū)域，有

，，。

由此易知。

先考慮如圖2（a）所示的情形，此時(shí)壘球斜向上拋，此情形下，壘球從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，所用時(shí)間為，

解得，

，

。

再考慮如圖2（b）所示的情形，此時(shí)壘球斜向下拋，同理可得

，

。

(2)平行于界面的初速度必須指向正x軸方向才有可能擊中D點(diǎn)。擊中D點(diǎn)方式有如下三種：

①從P點(diǎn)平拋出后經(jīng)過電場區(qū)域，直接到達(dá)D點(diǎn)。若所經(jīng)歷時(shí)間為t，則由

，

消去t，得。

②從P點(diǎn)向右平拋“下落”，然后經(jīng)磁場回轉(zhuǎn)，又在電場區(qū)斜上拋，如此循環(huán)，歷經(jīng)磁場n次，最終在電場區(qū)經(jīng)斜上拋到達(dá)D點(diǎn)，如圖3（a）所示。

設(shè)自P點(diǎn)平拋的水平射程。壘球經(jīng)磁場回轉(zhuǎn)一次，在x軸方向倒退。其中

。

從出磁場區(qū)后經(jīng)電場區(qū)的斜上拋運(yùn)動(dòng)，壘球在x軸方向前進(jìn)。如此歷經(jīng)n次循環(huán)，最后從電場區(qū)到達(dá)D點(diǎn)，應(yīng)有

，

解得。

若P點(diǎn)拋出的初速度為，則由

，

消去t，得，或。

③自P點(diǎn)向右平拋“下落”，再經(jīng)磁場回轉(zhuǎn)，然后在電場區(qū)斜上拋，如此循環(huán)，歷經(jīng)磁場n次，最終在磁場區(qū)回轉(zhuǎn)到達(dá)D點(diǎn)，如圖3（b）所示。

設(shè)自P點(diǎn)平拋的水平射程為，則應(yīng)有

，

解得。

相應(yīng)的初速度為，則有

，

或，

以上各式中n=1，2，3，…。