Question

【題目】給定一厚度為的平行平板，其折射率按下式變化：。束光在點由空氣垂直射入平板，并在點以角度射出，如圖所示求點的折射率，并確定點的位置及平板的厚度.（設(shè)，，）

Answer 1

【答案】，，Α點坐標為

【解析】

首先考慮光的路線，如圖乙所示.對于經(jīng)過一系列不同折射率的平行平板的透射光，可以應(yīng)用折射定律，得

.

更簡單的形式是

.

這個公式對任意薄層都是成立的.在我們的情形里，折射率只沿軸變化，即

=常數(shù).

在本題中，垂直光束從折射率為的點入射，即，

，.

則常數(shù)等于，于是在平板內(nèi)任意一點有

.

與的關(guān)系已知，在平板傳播中的光束滿足

圖丙表明光束的路徑是一個半徑為的圓，從而有

.

現(xiàn)在我們已知光的路徑，就有可能找到問題的解答.按照折射定律，當(dāng)光線在A點射出時，有

.

因為，故有，，

因此.在本題情形.

由得出A點的坐標為.光線的軌跡方程為.代入，得到平板厚度為.

本題是一道物理奧賽的試題，也是光在非均勻介質(zhì)中傳播的試題，其介質(zhì)的微元處理及折射定律的應(yīng)用也無特別之處，但從傳播光束滿足的表達式出發(fā)，確定光的傳播軌跡為一圓軌跡，是問題的突破口，這顯然要求答題者具備扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).對于物理競賽生而言，扎實的數(shù)理基礎(chǔ)是必備的，并且，只有學(xué)好了數(shù)學(xué)，才能進一步學(xué)好物理.