Question

【題目】光滑的水平地面O上有一質(zhì)量為M的滑塊，滑塊表面上有一質(zhì)量可忽略的釘子O，O處系著長為l的輕繩，繩下系著質(zhì)量為m的小球．開始時(shí)系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，如圖甲所示，輕繩與豎直甲方向有一很小的夾角，而后讓小球自由擺下，形成往返運(yùn)動(dòng)．設(shè)小球擺動(dòng)過程中不會(huì)與滑塊表面接觸，也不會(huì)與地面接觸，且滑塊不會(huì)傾倒，試求小球的擺動(dòng)周期．

Answer 1

【答案】

【解析】

先討論擺線長為l、幅角也為的單擺．設(shè)擺球質(zhì)量為，則在的小過程中擺球的運(yùn)動(dòng)速度可由能量方程

求得，為．

該擺的周期為．

再討論題設(shè)擺的運(yùn)動(dòng)．?dāng)[球首先朝左方擺動(dòng)，同時(shí)滑板因系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒而朝右運(yùn)動(dòng)。擺線到達(dá)左側(cè)與豎直線之間達(dá)夾角時(shí)，系統(tǒng)又處于靜止?fàn)顟B(tài)．而后擺球?qū)⒊�右方擺動(dòng)，滑板朝左運(yùn)動(dòng)，再次回到初始狀態(tài)，完成系統(tǒng)的一次周期運(yùn)動(dòng)．這一周期運(yùn)動(dòng)中，擺球相對滑板做一次幅角為的類單擺運(yùn)動(dòng)

如圖乙所示，擺角為時(shí)擺球相對地面的水平、豎直分速度記為、，滑板的水平反向運(yùn)動(dòng)速度記為u，則據(jù)能量守恒有．

水平方向動(dòng)量守恒關(guān)系為．

擺球相對滑板做圓運(yùn)動(dòng)，如圖丙所示，有運(yùn)動(dòng)關(guān)聯(lián)

．

圖中為擺球相對滑板的運(yùn)動(dòng)速率．由上述三式可得

．

為小量，可略，可得

，

．

參考圖示，可得．為小量，近似取1，有

．

于是，任意一對小過程的速度間均有確定的比例關(guān)系

各自對應(yīng)的時(shí)間為，．

一對小過程所經(jīng)時(shí)間均有確定的比例關(guān)系

全過程經(jīng)歷時(shí)間T與之間的比例關(guān)系便為．

于是有．