Question

【題目】【選修4﹣﹣5；不等式選講】
設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且a+b+c=1，證明：
（1）
（2） ．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca得：

a2+b2+c2≥ab+bc+ca，

由題設(shè)得（a+b+c）2=1，即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1，

所以3（ab+bc+ca）≤1，即ab+bc+ca≤ ．

（2）

證明：因?yàn)? +b≥2a， +c≥2b， +a≥2c，

故 +（a+b+c）≥2（a+b+c），即 ≥a+b+c．

所以 ≥1．

【解析】（1）依題意，由a+b+c=1（a+b+c）2=1a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1，利用基本不等式可得3（ab+bc+ca）≤1，從而得證；（2）利用基本不等式可證得： +b≥2a， +c≥2b， +a≥2c，三式累加即可證得結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解不等式的證明(不等式證明的幾種常用方法:常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法，函數(shù)單調(diào)性法，數(shù)學(xué)歸納法等)．