Question

【題目】兩個(gè)線圈位于水平面上，其中間部分纏有不可伸長的輕線（如圖甲所示）。這條線上的A點(diǎn)與兩線圈軸等距離，A點(diǎn)開始豎直向上移動(dòng)。這時(shí)線圈開始做無滑動(dòng)的滾動(dòng)，其軸不改變自己的方向，線也不沿線圈滑動(dòng)，不在線圈上的線段位于垂直線軸的豎直平面內(nèi)。問：當(dāng)A點(diǎn)速度等于v，時(shí)，兩線圈靠近的速率u多大？（線圈中間部分半徑與線圈側(cè)板半徑的比）

Answer 1

【答案】

【解析】

由于線不可伸長，線上所有點(diǎn)沿線方向分速度相等。因此，當(dāng)A點(diǎn)以速度v豎直向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，該點(diǎn)左邊線段與豎直線成角，如圖乙所示，線段AB上各點(diǎn)沿線方向分速度相等，即。

如果用表示左線圈軸運(yùn)動(dòng)速度，用表示該線圈相對其軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，考慮到線圈沒有相對水平面滑動(dòng)，那么可以列出，式中，為線圈側(cè)板半徑。

據(jù)題意，線不沿線圈滑動(dòng)，所以線圈上B點(diǎn)以及線上B點(diǎn)沿線方向分速度相等，即。因此，左線圈軸運(yùn)動(dòng)速度為。

從對稱性考慮，左、右線圈軸相對水平面速度大小相等但方向相反，于是所求兩線圈靠近的速率為。