Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|，不等式f（x）≤2的解集為M．
（1）求M；
（2）記集合M的最大元素為m，若正數(shù)a，b，c滿足a2+3b2+2c2=m，求ab+2bc的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：不等式f（x）≤2，即|2x+1|﹣|x﹣2|≤2，即 ①；或 ②；或 ③．

解求得﹣5≤x≤﹣ ；解求得﹣ ＜x≤1；解求得 x∈．

綜合可得，不等式f（x）≤2的解集為M={x|﹣5≤x≤1}

（2）解：由（1）可得M中的最大元素m=1，故有 a2+3b2+2c2=m=1，

∴ab+2bc≤ +b2+c2= = ，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立，

故ab+2bc的最大值為

【解析】（1）分類討論，去掉絕對(duì)值，求出不等式f（x）≤2的解集為M．（2）由（1）知m=1，可得a2+3b2+2c2=1，利用基本不等式求ab+2bc的最大值．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用絕對(duì)值不等式的解法，掌握含絕對(duì)值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值的符號(hào)即可以解答此題．