Question

【題目】如圖甲所示，有一木板可繞其下端的水平軸轉動，轉軸位于一豎直墻面上。開始時木板與墻面的夾角為，在夾角中放一正圓柱形木棍，截面半徑為。在木板外側加一力使其保持平衡，在木棍端面上畫一豎直向上的箭頭。已知木棍與墻面之間、木棍與木板之間的靜摩擦系數分別為，。若極緩慢地減小所加的力，使角慢慢張開，木棍下落。問：當夾角張到時，木棍端面上的箭頭指向什么方向？

附三角函數表：

	0.131	0.259	0.500	0.866
	0.991	0.966	0.866	0.500

Answer 1

【答案】箭頭最后指向為由正上方順時針轉處。

【解析】

設木棍的質量為，所受墻面的正壓力與摩擦力（向上）為；所受木板的正壓力與摩擦力（向上）為。設木板與墻面的夾角為，如圖乙所示。則木棍的平衡方程為豎直方向

. ①

水平方向：. ②

轉動：. ③

1.要使木棍即將在墻面上先滑動（左滑），這時

， ④

而. ⑤

根據③式，左滑條件④⑤兩式可合寫為

. ⑥

由②③④得

. ⑦

由⑥⑦兩式可得

. ⑧

將代入⑧式，得

. ⑨

這就是左滑時所應滿足的條件。

由⑨式可以看出，當小時此式無法滿足�？梢娮蠡�在大于臨界角時發(fā)生，滿足

. ⑩

此式即⑧式取等號的情況，由此可知這時為同時處于最大摩擦力的臨界狀態(tài)。當小于時發(fā)生右滑，即木棍在墻面上滑動而在木板上無滑動滾動。

2.討論木棍右滑條件，這時

， ④

. ⑤

右滑條件成為. ⑥

由②③④式得與的關系為

. ⑦

由⑥⑦式得

. ⑧

此式正好與⑧式相反，即右滑在小于⑩式的時發(fā)生。結論：當時右滑，即在木板上滑動；當時左滑，即在墻面上滑動。

3.求臨界角，即解⑩式.

兩邊平方并消去得

.

其解為

滿足⑩式，是所求的解；而另一解不滿足⑩式，是增根，應舍去。結果：當時右滑（在木板上滑動）；當時左滑（在墻面上滑動）.

4.計算箭頭轉角

設張角在，，時木棍中心的高度（從轉軸算起）分別為.

由于，由圖丙可知

，

，

.

當木棍由下落至時，順指針轉角：

.

當木棍由下落至時，逆時針轉角：

.

而在這一過程中，木板本身順指針轉了，因此箭頭的最后指向為。所以，箭頭最后指向為由正上方順時針轉處。