Question

【題目】形狀適宜的金屬絲衣架能在如圖甲所示的平面里的幾個(gè)平衡位置附近做小振幅擺動(dòng)．在位置1和位置2里，長(zhǎng)邊是水平的．其他兩邊等長(zhǎng)．三種情況下的振動(dòng)周期都相等．試問(wèn)：衣架的質(zhì)心位于何處？擺動(dòng)周期是多少？

Answer 1

【答案】質(zhì)心位于AB之中點(diǎn)．衣架的振動(dòng)周期.

【解析】

本題所述的擺是復(fù)擺，我們先來(lái)推導(dǎo)復(fù)擺的周期公式．如圖乙所示，設(shè)O為轉(zhuǎn)軸（懸點(diǎn)），C為質(zhì)心，與轉(zhuǎn)軸距離（復(fù)擺擺長(zhǎng)）為l，質(zhì)量為m，對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I，最大偏角．由機(jī)械能守恒定

律，可得

①

是剛體的質(zhì)心通過(guò)平衡位置時(shí)的角速度。對(duì)擺長(zhǎng)l、質(zhì)量m的理想單擺而言，有

． ②

②式中是擺球（質(zhì)點(diǎn)）通過(guò)平衡位置時(shí)的角速度，A是振幅，是擺球振動(dòng)的圓頻率。若將

①式變形為，比較②式，即對(duì)復(fù)擺與單擺作等效變換，可得復(fù)擺小幅振動(dòng)（亦為諧振）的圓頻率

那么復(fù)擺的周期公式為．

由題設(shè)條件確定衣架的質(zhì)心位置及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，依據(jù)復(fù)擺周期公式，即可確定三種情況下相同的擺動(dòng)周期T．如圖丙所示，質(zhì)心O到轉(zhuǎn)軸A、B、C的距離設(shè)為a、b、c，由圖甲1所示的情況下衣架的平衡位置可知O必在衣架長(zhǎng)邊的中垂線AB上，在三種情況下衣架對(duì)轉(zhuǎn)軸A、B、C的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量依次為，，．式中為所設(shè)衣架對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，m是衣架總質(zhì)量．因?yàn)槿�種情況下的周期相同，故有

，即．

顯然，則可知．

又有，

即．

此式中因，，必有，即質(zhì)心位于AB之中點(diǎn)．衣架的振動(dòng)周期

根據(jù)圖甲中的標(biāo)注數(shù)字可知，，代入后得．