Question

【題目】質(zhì)量為的質(zhì)點在有心引力作用下做半徑為的圓周運動，有心引力的大小可表示為，其中為質(zhì)點到固定力心的距離，為正的常數(shù)，為可正可負的常數(shù)（不一定是整數(shù)）.

（1）問：當為何值時，該圓軌道對徑向小擾動是穩(wěn)定的？

（2）對穩(wěn)定的圓軌道，求徑向小擾動情況下質(zhì)點徑向振動的周期，用，，，表示.

（3）問：當為何值時，穩(wěn)定圓軌道的運動周期為徑向小振動周期的整數(shù)倍？

Answer 1

【答案】（1）（2） （3）

【解析】

（1）依題意有，

所以，.

當粒子在徑向發(fā)生微小偏移時，由角動量守恒得

.

在轉(zhuǎn)動系中，.

因為，

所以，

.

顯然，當，即時，滿足粒子在徑向做諧振的條件，此時，粒子在徑向的擾動是穩(wěn)定的.

（2）由（1）的解答知

.

（3）粒子做勻速圓周運動時，其周期為

.

若時，有

.

中學階段討論較多的有心力是萬有引力與無原長的彈簧牽引下的作用力，即在中取-2或1，并作了一般性的討論.

在有心力作用下討論物體徑向運動的試題很多，既有類似于本題的動力學分析方法，也有能量分析的方法，比如引入“有效勢能”來討論物體運動的區(qū)域.

另外，若不等于-2或1，我們則難以找到與之匹配的實際模型，所以，這類習題也只是一種純粹的理論探討，但這種探討對學習物理學是有意義的.