Question

【題目】質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)在有心引力作用下做半徑為的圓周運(yùn)動(dòng)，有心引力的大小可表示為，其中為質(zhì)點(diǎn)到固定力心的距離，為正的常數(shù)，為可正可負(fù)的常數(shù)（不一定是整數(shù)）.

（1）問：當(dāng)為何值時(shí)，該圓軌道對(duì)徑向小擾動(dòng)是穩(wěn)定的？

（2）對(duì)穩(wěn)定的圓軌道，求徑向小擾動(dòng)情況下質(zhì)點(diǎn)徑向振動(dòng)的周期，用，，，表示.

（3）問：當(dāng)為何值時(shí)，穩(wěn)定圓軌道的運(yùn)動(dòng)周期為徑向小振動(dòng)周期的整數(shù)倍？

Answer 1

【答案】（1）（2） （3）

【解析】

（1）依題意有，

所以，.

當(dāng)粒子在徑向發(fā)生微小偏移時(shí)，由角動(dòng)量守恒得

.

在轉(zhuǎn)動(dòng)系中，.

因?yàn)?/span>，

所以，

.

顯然，當(dāng)，即時(shí)，滿足粒子在徑向做諧振的條件，此時(shí)，粒子在徑向的擾動(dòng)是穩(wěn)定的.

（2）由（1）的解答知

.

（3）粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，其周期為

.

若時(shí)，有

.

中學(xué)階段討論較多的有心力是萬有引力與無原長(zhǎng)的彈簧牽引下的作用力，即在中取-2或1，并作了一般性的討論.

在有心力作用下討論物體徑向運(yùn)動(dòng)的試題很多，既有類似于本題的動(dòng)力學(xué)分析方法，也有能量分析的方法，比如引入“有效勢(shì)能”來討論物體運(yùn)動(dòng)的區(qū)域.

另外，若不等于-2或1，我們則難以找到與之匹配的實(shí)際模型，所以，這類習(xí)題也只是一種純粹的理論探討，但這種探討對(duì)學(xué)習(xí)物理學(xué)是有意義的.