Question

【題目】(2016全國卷Ⅰ，25)如圖，一輕彈簧原長為2R，其一端固定在傾角為37°的固定直軌道AC的底端A處，另一端位于直軌道上B處，彈簧處于自然狀態(tài)，直軌道與一半徑為R的光滑圓弧軌道相切于C點(diǎn)，AC＝7R，A、B、C、D均在同一豎直平面內(nèi)。質(zhì)量為m的小物塊P自C點(diǎn)由靜止開始下滑，最低到達(dá)E點(diǎn)(未畫出)，隨后P沿軌道被彈回，最高到達(dá)F點(diǎn)，AF＝4R，已知P與直軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝，重力加速度大小為g。(取sin 37°＝，cos 37°＝)

(1)求P第一次運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)速度的大小；

(2)求P運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)時(shí)彈簧的彈性勢能；

(3)改變物塊P的質(zhì)量，將P推至E點(diǎn)，從靜止開始釋放。已知P自圓弧軌道的最高點(diǎn)D處水平飛出后，恰好通過G點(diǎn)。G點(diǎn)在C點(diǎn)左下方，與C點(diǎn)水平相距R、豎直相距R，求P運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)速度的大小和改變后P的質(zhì)量。

Answer 1

【答案】 (1)2 (2) mgR (3) m

【解析】 (1)由題意可知：lBC＝7R－2R＝5R①

設(shè)P到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度為vB，由動(dòng)能定理得

mglBCsin θ－μmglBCcos θ＝mv②

式中θ＝37°，聯(lián)立①②式并由題給條件得

vB＝2③

(2)設(shè)BE＝x，P到達(dá)E點(diǎn)時(shí)速度為零，此時(shí)彈簧的彈性勢能為Ep，由B→E過程，根據(jù)動(dòng)能定理得

mgxsin θ－μmgxcos θ－Ep＝0－mv④

E、F之間的距離l1為l1＝4R－2R＋x⑤

P到達(dá)E點(diǎn)后反彈，從E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到F點(diǎn)的過程中，由動(dòng)能定理有

Ep－mgl1sin θ－μmgl1cos θ＝0⑥

聯(lián)立③④⑤⑥式得

x＝R⑦

Ep＝mgR⑧

(3)設(shè)改變后P的質(zhì)量為m1，D點(diǎn)與G點(diǎn)的水平距離為x1和豎直距離為y1，θ＝37°。由幾何關(guān)系(如圖所示)得：

x1＝R－Rsin θ＝3R⑨

y1＝R＋R＋Rcos θ＝R⑩

設(shè)P在D點(diǎn)的速度為vD，由D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到G點(diǎn)的時(shí)間為t。

由平拋運(yùn)動(dòng)公式得：

y1＝gt2

x1＝vDt

聯(lián)立⑨⑩得

vD＝

設(shè)P在C點(diǎn)速度的大小為vC，在P由C運(yùn)動(dòng)到D的過程中機(jī)械能守恒，有

m1v＝m1v＋m1g(R＋cos θ)

P由E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過程中，由動(dòng)能定理得

Ep－m1g(x＋5R)sin θ－μm1g(x＋5R)cos θ＝m1v

聯(lián)立⑦⑧得

m1＝m