Question

【題目】“星際子彈”被認(rèn)為是稠密氣體團(tuán)，它們像彈道式粒子一樣穿過低密度星際氣體云.宇宙某處，有一球狀低密度均勻氣體云，質(zhì)量為，半徑為，一“星際子彈”的半徑遠(yuǎn)小于，質(zhì)量，子彈對(duì)氣體云中心的角動(dòng)量，子彈的總能量，忽略所有非引力作用.

（1）試問：此子彈的運(yùn)動(dòng)是總在云里，總在云外，還是有時(shí)在云里有時(shí)在云外？

（2）求子彈運(yùn)動(dòng)軌道的轉(zhuǎn)折點(diǎn)與氣體云中心的距離.

（3）討論子彈運(yùn)動(dòng)軌道的形狀，并求其運(yùn)動(dòng)周期.

Answer 1

【答案】（1）子彈總在云里 （2）， （3）

【解析】

（1）子彈受到氣體云團(tuán)的萬有引力可表示為

在區(qū)域：.

在區(qū)域：.

若取無窮遠(yuǎn)處為引力勢(shì)能的零點(diǎn)，則引力勢(shì)能可表示為

在區(qū)城：.

在區(qū)域：在處的勢(shì)能為；在區(qū)域內(nèi)，因所受引力滿足，當(dāng)取中心為零勢(shì)點(diǎn)時(shí)，，現(xiàn)取處的勢(shì)能為，則在區(qū)域內(nèi)的勢(shì)能為.

如圖甲所示為子彈的勢(shì)能曲線.由題意可知，子彈的總能量為，而子彈能出現(xiàn)的區(qū)域應(yīng)該有，由圖可知，只有在的區(qū)域子彈才有可能出現(xiàn)，而，這就是說，子彈總在云里.

（2）下面討論子彈的轉(zhuǎn)折點(diǎn).

引入子彈的有效勢(shì)能：

，

式中為子彈對(duì)氣體云中心的角動(dòng)量，本題中

，

所以，.

子彈的機(jī)械能為

.

在轉(zhuǎn)折處，應(yīng)有，所以，

.

整理得.

此方程的解即為子彈軌道轉(zhuǎn)折點(diǎn)與氣體云中心的距離，即

，.

（3）由（2）小題中討論計(jì)算可知，兩個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)和即為如圖乙所示的子彈有效勢(shì)能曲線圖中子彈的機(jī)械能與有效勢(shì)能曲線的兩個(gè)交點(diǎn)所在位置.因此，子彈運(yùn)動(dòng)為橢圓軌道，其半長(zhǎng)軸和半短軸分別為

，，

形狀大致如圖丙所示.可見軌道中共有四個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn).由于橢圓的面積為

.

由于子彈相對(duì)氣體云中心角動(dòng)量守恒，可知其面積速率為恒量：

.

故子彈軌道運(yùn)動(dòng)的周期為

.

首先，我們應(yīng)對(duì)有效勢(shì)能的引入作一說明：當(dāng)質(zhì)點(diǎn)在一維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，常采用勢(shì)能曲線來討論質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，而當(dāng)質(zhì)點(diǎn)在固定力心的引力場(chǎng)中做二維（即二變量、）運(yùn)動(dòng)時(shí)，為便于討論其矢徑（）的變化范圍，常引進(jìn)有效勢(shì)能，有效勢(shì)能由兩部分構(gòu)成：一部分是引力勢(shì)能，另一部分則是其機(jī)械能中的橫向速度對(duì)應(yīng)的動(dòng)能.

由于質(zhì)點(diǎn)相對(duì)固定力心角動(dòng)量守恒，即，因此，可用來替換，于是有.

可見有效勢(shì)能僅是的函數(shù)，而體系機(jī)械能也只是的函數(shù)，即

.

這與質(zhì)點(diǎn)做一維（一個(gè)變量）運(yùn)動(dòng)相仿，只要作出有效勢(shì)能曲線，就可很方便地討論質(zhì)點(diǎn)徑向運(yùn)動(dòng)的范圍.

其次，本題中系統(tǒng)的引力勢(shì)能的表述也是值得關(guān)注的，通常情況下，當(dāng)我們只在氣體團(tuán)內(nèi)部進(jìn)行研究時(shí)，我們?nèi)≈行臑閯?shì)能零點(diǎn)；當(dāng)我們只在氣體團(tuán)外部進(jìn)行研究時(shí)，我們又可取無窮遠(yuǎn)處為勢(shì)能零點(diǎn)，而將它們統(tǒng)一起來時(shí)，我們既可取引力中心為勢(shì)能零點(diǎn)，也可取無窮遠(yuǎn)處為勢(shì)能零點(diǎn)，這樣，其表達(dá)式是各不相同的，但并不會(huì)影響物體運(yùn)動(dòng)時(shí)勢(shì)能的變化.

這一問題在研究原子時(shí)也會(huì)出現(xiàn).

最后，稠密氣體團(tuán)與“星際子彈”都是不太常見的模型，但通過本題的解答，我們不難看出，它們實(shí)際上是衛(wèi)星與中心天體的變形而已，熟悉了這一思路，在處理“神秘”的天體問題時(shí)，一般都不會(huì)有大的障礙.