Question

【題目】宇宙空間中，有兩顆初始靜止、質(zhì)量分別為、的星球，初始時(shí)刻兩星球的距離為，以后在引力作用下相向運(yùn)動(dòng)，問(wèn)：從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到相碰為止，共經(jīng)歷了多少時(shí)間？（星球可視為質(zhì)點(diǎn)）

Answer 1

【答案】

【解析】

在質(zhì)心系中討論（如圖所示）.

圖中，.

在質(zhì)心系中，與均落向，所求時(shí)間就是與相撞的時(shí)間.

以為討論對(duì)象，其在落向的過(guò)程中所受的萬(wàn)有引力為

，

其中、分別為兩星落向的過(guò)程中兩星的距高及到的距離，.

上述關(guān)系對(duì)于任何距離都成立.

同時(shí)，落向的橢圓的半長(zhǎng)軸為.

利用開(kāi)普勒第三定律得到碰前經(jīng)歷的時(shí)間為

.

整理可得.

兩個(gè)星體在相互引力的作用下不離不棄，即我們所說(shuō)的雙星系統(tǒng)，這是兩體問(wèn)題的代表模型.在中學(xué)常規(guī)教學(xué)中，我們只討論雙星系統(tǒng)在彼此的引力作用下做圓周運(yùn)動(dòng)的情形，而此處將運(yùn)動(dòng)推向“橢圓運(yùn)動(dòng)”，難度自然增加了不少，但我們不要忽視，我們實(shí)際上是有能力處理雙星系統(tǒng)中星體的橢圓運(yùn)動(dòng)的.

我們還需要說(shuō)明的是，對(duì)雙星系統(tǒng)的處理，除了本題解答給出的質(zhì)心系（慣性系）下的處理方法外，也可在以或為參照系（非慣性系）的情況下引入慣性力進(jìn)行處理，也可以或為引力中心，直接將系統(tǒng)作兩體問(wèn)題，引入約化質(zhì)量進(jìn)行處理，都能得到正確結(jié)果.解題方法多樣，個(gè)人根據(jù)自己的偏好進(jìn)行選擇，應(yīng)無(wú)所謂優(yōu)劣，但在應(yīng)試中，我們以不易出錯(cuò)且能節(jié)省時(shí)間的方法為首選.