【題目】在如圖所示的幾何體中，平面平面，四邊形和四邊形都是正方形，且邊長(zhǎng)為，是的中點(diǎn).

（1）求證：直線平面；

（2）求二面角的大小.

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）連結(jié)交于，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得是中點(diǎn)，再根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得，最后根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)論,（2）根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo),利用方程組解各面法向量,根據(jù)向量數(shù)量積求夾角,最后根據(jù)二面角與向量夾角相等或互補(bǔ)關(guān)系求二面角.

試題解析：（1）∵且，

與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)

∴平面平面，∴幾何體是三棱柱

又平面平面，，∴平面，故幾何體是直三棱柱

（1）四邊形和四邊形都是正方形，所以且，所以四邊形為矩形；于是，連結(jié)交于，連結(jié)，是中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，故是三角形D的中位線，，注意到在平面外，在平面內(nèi)，∴直線平面

（2）由于平面 平面，，∴平面，所以.于是，，兩兩垂直.以，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，因正方形邊長(zhǎng)為，且為中點(diǎn)，所以，，，

于是，，設(shè)平面的法向量為

則，解之得，同理可得平面的法向量，∴

記二面角的大小為，依題意知，為銳角，，

即求二面角的大小為

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某水產(chǎn)品經(jīng)銷商銷售某種鮮魚，售價(jià)為每公斤元，成本為每公斤元.銷售宗旨是當(dāng)天進(jìn)貨當(dāng)天銷售.如果當(dāng)天賣不出去，未售出的全部降價(jià)處理完，平均每公斤損失元.根據(jù)以往的銷售情況，按，，，，進(jìn)行分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求未來連續(xù)三天內(nèi)，該經(jīng)銷商有連續(xù)兩天該種鮮魚的日銷售量不低于公斤，而另一天日銷售量低于公斤的概率；

（2）在頻率分布直方圖的需求量分組中，以各組區(qū)間的中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值.

（i）求日需求量的分布列；

（ii）該經(jīng)銷商計(jì)劃每日進(jìn)貨公斤或公斤，以每日利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望值為決策依據(jù)，他應(yīng)該選擇每日進(jìn)貨公斤還是公斤？

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【題目】在如圖所示的多面體中，底面四邊形是菱形，，，相交于，，在平面上的射影恰好是線段的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）若直線與平面所成的角為，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

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【題目】交管部門為宣傳新交規(guī)舉辦交通知識(shí)問答活動(dòng)，隨機(jī)對(duì)該市歲的人群抽樣了人，回答問題統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖表所示：

分組

回答正確的人數(shù)

回答正確的人數(shù)占本組的頻率

第組

第組

第組

第組

第組

（1）分別求出，，，的值；

（2）從第，，組回答正確的人中用分層抽樣方法抽取人，則第，，組每組應(yīng)各抽取多少人？

（3）在（2）的前提下，決定在所抽取的人中隨機(jī)抽取人頒發(fā)幸運(yùn)獎(jiǎng)，求：所抽取的人中至少有一個(gè)第組的人的概率.

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【題目】為了解甲、乙兩種產(chǎn)品的質(zhì)量，從中分別隨機(jī)抽取了10件樣品，測(cè)量產(chǎn)品中某種元素的含量（單位：毫克），如圖所示是測(cè)量數(shù)據(jù)的莖葉圖.規(guī)定：當(dāng)產(chǎn)品中的此中元素的含量不小于18毫克時(shí)，該產(chǎn)品為優(yōu)等品.

（1）試用樣品數(shù)據(jù)估計(jì)甲、乙兩種產(chǎn)品的優(yōu)等品率；

（2）若從甲、乙兩種產(chǎn)品的優(yōu)等品中各隨機(jī)抽取1件，抽到的2件優(yōu)等品中，“甲產(chǎn)品的含量28毫克優(yōu)等品必須在內(nèi)，且乙產(chǎn)品的含量28毫克優(yōu)等品不包含在內(nèi)”為事件，求事件的概率.

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【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，離心率.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí)，求面積的最大值.

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【題目】某二手車交易市場(chǎng)對(duì)某型號(hào)二手汽車的使用年數(shù)與銷售價(jià)格（單位：萬元/輛）進(jìn)行整理，得到如下的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：

使用年數(shù)

2

4

6

8

10

售價(jià)

16

13

9.5

7

4.5

（1）試求關(guān)于的回歸直線方程；（參考公式：，.）

（2）已知每輛該型號(hào)汽車的收購價(jià)格為萬元，根據(jù)（1）中所求的回歸方程，預(yù)測(cè)為何值時(shí)，銷售一輛該型號(hào)汽車所獲得的利潤(rùn)最大？

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【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知直角坐標(biāo)系中動(dòng)點(diǎn)，參數(shù)，在以原點(diǎn)為極點(diǎn)、軸正半軸為極軸所建立的極坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)在曲線：上.

（1）求點(diǎn)的軌跡的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）若動(dòng)點(diǎn)的軌跡和曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】已知拋物線： 的焦點(diǎn)與橢圓： 的一個(gè)焦點(diǎn)重合，點(diǎn)在拋物線上，過焦點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn).

（Ⅰ）求拋物線的方程以及的值；

（Ⅱ）記拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，試問是否存在常數(shù)，使得且都成立？若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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