Question

若橢圓方程為

x2

12

+

y2

4

=1，設(shè)直線y=x+m，交橢圓于A、B，且|AB|=3

2

，若點P（x₀，2）滿足|

PA

|=|

PB

|，求x₀．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立直線方程和橢圓方程，結(jié)合韋達定理和弦長公式，可求出m的值，進而求出AB中點的坐標，結(jié)合|

PA

|=|

PB

|，可得PC與AB垂直，進而得到答案．

解答： 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x2 12 + y2 4 =1 y=x+m

得：4x²+6mx+3m²-12=0
則△=36m²-16（3m²-12）＞0，
即m²-16＜0，即m∈（-4，4），
且x₁+x₂=-

3

2

m，x₁•x₂=

3m2-12

4

，
∵|AB|=3

2

=

2

•

(x1+x2)2-4x1•x2

=

2

•

9 4 m2-3m2+12

=

2

•

- 3 4 m2+12

，
∴-

3

4

m2+12=9，
解得：m=±2，
則x₁+x₂=±3，y₁+y₂=x₁+x₂+2m=

1

2

m=±1，
即A，B中點C的坐標為（

3

2

，-

1

2

），或（-

3

2

，

1

2

），
則P點在過C點且斜率為-1的直線上，
即k_PC=

2+ 1 2

x0- 3 2

=-1，或k_PC=

2- 1 2

x0+ 3 2

=-1，
解得：x₀=-1，或x₀=-3．

點評：本題考查的知識點是橢圓的簡單性質(zhì)，直線垂直的充要條件，弦長公式，難度中檔．