Question

已知點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜

π

2

）圖象上的任意兩點(diǎn)，若|y₁-y₂）=2時(shí)，|x₁-x₂|的最小值為

π

2

，且函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，

1

2

）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且2sinAsinC+cos2B=1，求f（B）的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)三角函數(shù)的周期公式，結(jié)合題意算出ω=2，再根據(jù)f（0）=

1

2

和0＜φ＜

π

2

，得出φ=

π

6

即可得到函數(shù)f（x）的解析式；
（II）化簡題中三角等式，得2sinAsinC=2sin²B，由正弦定理得ac=b²，再利用余弦定理與基本不等式算出cosB≥

1

2

，從而可得B∈（0，

π

3

]．算出2B+

π

6

∈（

π

6

，

5π

6

]，即可得到f（B）=sin（2B+

π

6

）的取值范圍．

解答：解：（I）由題意，可知

T

2

=

π

2

，∴周期T=

2π

ω

=π，可得ω=2
∵f（0）=sinφ=

1

2

，0＜φ＜

π

2

，∴φ=

π

6

由此可得f（x）的解析式為f（x）=sin（2x+

π

6

）                    …（6分）
（II）∵2sinAsinC+cos2B=1，
∴2sinAsinC=1-cos2B=2sin²B，
根據(jù)正弦定理，得ac=b²
又∵cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

ac

2ac

=

1

2

，可得B∈（0，

π

3

]
∴2B+

π

6

∈（

π

6

，

5π

6

]，得

1

2

≤sin（2B+

π

6

）≤1
因此，f（B）=sin（2B+

π

6

）的取值范圍為[

1

2

，1]…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題求三角函數(shù)式的表達(dá)式，并由此求f（B）的取值范圍．著重考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、正余弦定理和基本不等式求最值等知識(shí)，屬于中檔題．