Question

袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個（n=1，2，3，4）．現(xiàn)從袋中任取一球．ξ表示所取球的標號．
（Ⅰ）求ξ的分布列，期望和方差；
（Ⅱ）若η=aξ+b，Eη=1，Dη=11，試求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）ξ的所有可能取值為0，1，2，3，4，P（ξ=k）=

k

10

，可出分布列，再由期望、方差的定義求期望和方差；
（2）若η=aξ+b，由期望和方差的性質Eη=aEξ+b，Dη=a²Dξ，解方程組可求出a和b．

解答：解：
（Ⅰ）ξ的所有可能取值為0，1，2，3，4
分布列為：

∴Eξ=0×

1

2

+1×

1

20

+2×

1

10

+3×

3

20

+4×

1

5

=1.5.ξ=(0-1.5)2×

1

2

+(1-1.5)2×

1

20

+(2-1.5)2×

1

10

+(3-1.5)2×

3

20

+(4-1.5)2×

1

5

=2.75.
（Ⅱ）由Dη=a²Dξ，得a²×2.75=11，即
a=±2．又Eη=aEξ+b，所以
當a=2時，由1=2×1.5+b，得b=-2；
當a=-2時，由1=-2×1.5+b，得b=4．
∴

a=2 b=-2

或

a=-2 b=4

即為所求．

點評：本題考查概率、隨機變量的分布列、期望和方差等概念，以及基本的運算能力．