Question

已知函數(shù)(b，c為常數(shù)) (1) 若f(x)在x＝1和x＝3處取得極值，試求b (2) 在(1)條件下，寫出函數(shù)y＝f(x)圖象的對稱中心？(要過程，但不要求證明) (3) 若f(x)在x∈(－∞，x1)．(x2，＋∞)上單調(diào)遞增且在x∈(x1，x2)上單調(diào)遞減，又滿足x2－x1＞1，求證：b2＞2(b＋2c)

Answer 1

答案：
解析：

(1)	f′(x)＝x2＋(b－1)x＋c，由題意得，1和3是方程x2＋(b－1)x＋c＝0的兩根2分 ∴解得………………………………………4分
(2)	給出兩個極值點(diǎn)，說出中點(diǎn)就是所求的點(diǎn)…………………8分
(3)	由題得，當(dāng)x∈(－∞，x1)，(x2，＋∞)時，f′(x)＞0x∈(x1，x2)時，f′(x)＜0，∴x1，x2是方程x2＋(b－1)x＋c＝0的兩根， 則x1＋x2＝1－b，x1x2＝c，………………………………………………10分 ∴b2－2(b＋2c)＝b2－2b－4c＝［1－(x1＋x2)］2－2［1－(x1＋x2)］－4x1x2 ＝(x1＋x2)2－4x1x2－1＝(x2－x1)2－1， ∵x2－x1＞1，∴(x2－x1)2－1＞0，∴b2＞2(b＋2c)．……………14分