Question

【題目】有一個n位自然數(shù)能被x0整除，依次輪換個位數(shù)字得到的新數(shù)能被（x0+1）整除，再依次輪換個位數(shù)字得到的新數(shù)能被（x0+2）整除，按此規(guī)律輪換后，能被（x0+3）整除，…，能被（x0+n﹣1）整除，則稱這個n位數(shù)是x0的一個“輪換數(shù)”．例如：60能被5整除，06能被6整除，則稱兩位數(shù)60是5的一個“輪換數(shù)”．再如：324能被2整除，243能被3整除，432能被4整除，則稱三位數(shù)324是2的一個“輪換數(shù)”．

（1）請判斷：自然數(shù)24　 　“輪換數(shù)”，245　 　“輪換數(shù)”（填“是”或“不是”）；

（2）若一個兩位自然數(shù)的個位數(shù)字是m（0＜m＜5，且為整數(shù)），十位數(shù)字是2m，試說明：這個兩位自然數(shù)一定是“輪換數(shù)”；

（3）若三位自然數(shù)是4的一個“輪換數(shù)”，其中b=0，請直接寫出這個三位自然數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）是，不是；（2）詳見解析；（3）504.

【解析】

（1）分別判斷能否被兩個聯(lián)系的整數(shù)整除即可；

（2）表示出這個兩位自然數(shù)，和輪換兩位自然數(shù)，得到能整除即可；

（3）先表示出三位自然數(shù)和輪換三位自然數(shù)，再根據(jù)能被5整除，得出b的可能值，進而用4整除，得出c的可能值，最后用能被3整除即可．

（1）∵24是6的倍數(shù)，42是7的倍數(shù)，

∴自然數(shù)24是“輪換數(shù)”；

∵245的約數(shù)是5、7、7，452的約數(shù)有2、2、113；

當(dāng)245被5整除時，而452不能被6整除；

當(dāng)245被7整除時，而452不能被8整除；

∴245不是“輪換數(shù)”．

（2）此兩位數(shù)為20m+m=21m=7m×3，是3的倍數(shù)； 輪換后為10m+2m=12m=4m×4，是4的倍數(shù)；

∴這個兩位自然數(shù)一定是“輪換數(shù)”．

（3）此三位數(shù)為：100a+10b+c

當(dāng)b=0時，三位數(shù)為：100a+10b+c=100a+c，

∵100a+c是4的倍數(shù)，而100a是4的倍數(shù)，

∴c是4的倍數(shù)，

∴c=4或8；

若c=4，輪換后為40+a是5的倍數(shù)，

∴a=5；

驗證：再次輪換后為450是6的倍數(shù)，即這個三位數(shù)為：504

若c=8，則三位數(shù)為：100a+8；

輪換后為80+a是5的倍數(shù)，

∴a=5；

驗證：再次輪換后為850不是6的倍數(shù)，即c=8舍去

綜上所述，這個三位數(shù)為：504．