已知：如圖，圖1是△ABC，圖2是“8字形”（將線段AB、CD相交于點(diǎn)O，連接AD、CB形成的圖形），圖3是一個(gè)五角星形狀，試解答下列問題：

（1）圖1的△ABC中，∠A+∠B+∠C=
180°
180°
，并證明你寫出的結(jié)論；（要有推理證明過程）
（2）圖2的“8字形”中，請(qǐng)直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系：
∠A+∠D=∠C+∠B
∠A+∠D=∠C+∠B
；
（3）若在圖2的條件下，作∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，并且與CD、AB分別相交于M、N（如圖4）．請(qǐng)直接寫出∠P與∠D、∠B之間數(shù)量關(guān)系：
∠P=
1
2
（∠D+∠B）
∠P=
1
2
（∠D+∠B）
；
（4）圖3中的點(diǎn)A向下移到線段BE上時(shí)，請(qǐng)直接寫出∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=
180°
180°
．
分析：（1）先過A點(diǎn)作EF∥BC，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得出∠B=∠EAB，∠C=∠CAF，再根據(jù)∠EAB+∠A+∠CAF=180°，即可證出∠A+∠B+∠C的度數(shù)；
（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出∠A+∠D=∠C+∠B；
（3）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠1=∠2，∠3=∠4，再根據(jù)對(duì)頂角的性質(zhì)，得出∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，即可得出∠D-∠P=∠P-∠B，最后進(jìn)行整理即可．
（4）根據(jù)兩個(gè)內(nèi)角之和等于和它不相鄰的一個(gè)外角得出∠CAD+∠D=∠CFG，∠B+∠E=∠CGF，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可得出答案．
解答：解：（1）過A點(diǎn)作EF∥BC，
∵EF∥BC，
∴∠B=∠EAB，∠C=∠CAF，
∵∠EAB+∠A+∠CAF=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°；

（2）∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°，
又∵∠AOD=∠BOC（對(duì)頂角相等），
∴∠A+∠D=∠C+∠B；

（3）∵AP、CP是∠DAB、∠BCD的平分線，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，
∴∠D-∠P=∠P-∠B，
∴∠P=
1
2
（∠D+∠B）；


（4）∵∠CAD+∠D=∠CFG，∠B+∠E=∠CGF，
又∵∠C+∠CFG+∠CGF=180°，
∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=180°；
故答案為：180°，∠A+∠D=∠C+∠B，∠P=
1
2
（∠D+∠B），180°．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角形內(nèi)角和定理和三角形的外交的性質(zhì)，掌握三角形的內(nèi)角和定理以及角平分線的定義以及三角形的外交的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：閱讀理解

閱讀下列材料：
   李老師提出一個(gè)問題：“已知：如圖1，AB=m（m＞0），∠BAC=α（α為銳角），在射線AC上取一點(diǎn)D，使構(gòu)成的△ABD唯一確定，試確定線段BD的取值范圍．”
   小明同學(xué)說出了自己的解題思路：以點(diǎn)B為圓心，以m為半徑畫圓（如圖2所示），D為⊙B與射線AC的交點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），連結(jié)BD，所以，當(dāng)BD=m時(shí)，構(gòu)成的△ABD是唯一確定的．
    李老師說：“小明同學(xué)畫出的三角形是正確的，但是他的解答不夠全面．”

對(duì)于李老師所提出的問題，請(qǐng)給出你認(rèn)為正確的解答（寫出BD的取值范圍，并在備用圖中畫出對(duì)應(yīng)的圖形，不寫作法，保留作圖痕跡）．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（本題滿分8分）

已知：如圖8，AD是△ABC外接圓⊙O的直徑，AE是△ABC的邊BC上的高，DF⊥ BC，F(xiàn)為垂足． 

  (1)求證：BF=EC;

   (2)若C點(diǎn)是AD的中點(diǎn)，且DF=3AE=3，求BC的長(zhǎng)．

 

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（本題滿分8分）
已知：如圖8，AD是△ABC外接圓⊙O的直徑，AE是△ABC的邊BC上的高，DF⊥ BC，F(xiàn)為垂足． 

(1)求證：BF=EC;
(2)若C點(diǎn)是AD的中點(diǎn)，且DF=3AE=3，求BC的長(zhǎng)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年廣東省初三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)卷 題型：解答題

（本題滿分8分）

已知：如圖8，AD是△ABC外接圓⊙O的直徑，AE是△ABC的邊BC上的高，DF⊥ BC，F(xiàn)為垂足． 

  (1)求證：BF=EC;

    (2)若C點(diǎn)是AD的中點(diǎn)，且DF=3AE=3，求BC的長(zhǎng)．

 

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