Question

【題目】已知點(diǎn),橢圓的離心率為，是橢圓的右焦點(diǎn)，直線的斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn).

（I）求的方程；

（II）設(shè)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與相交于兩點(diǎn)，當(dāng)的面積最大時(shí)，求的方程

Answer 1

【答案】（I）（II）或

【解析】

試題分析：（I）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，一般方法為待定系數(shù)法，即根據(jù)條件列出關(guān)于的兩個(gè)獨(dú)立條件及，結(jié)合，解方程組得，（II）對(duì)于三角形面積問(wèn)題，一般利用點(diǎn)到直線距離公式求三角形的高，利用弦長(zhǎng)公式求三角形底邊邊長(zhǎng).先設(shè)直線方程，注意分類討論斜率不存在情形，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得高，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式得：，，這樣可得的面積，最后根據(jù)分式函數(shù)求最值方法求最值：一般方法為整體換元，即設(shè)，則，，利用基本不等式求最值，確定斜率，即直線方程

試題解析：（I）設(shè)，由條件知，得，又，所以，，故的方程為

（II）當(dāng)軸時(shí)不合題意，故可設(shè)，，

將代入中得，當(dāng)時(shí),即,

由韋達(dá)定理得

從而

又點(diǎn)到直線的距離為

所以的面積

法一：設(shè)，則，，因?yàn)?/span>,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，且滿足.所以當(dāng)的面積最大時(shí)，的方程為或

法二：令，則

當(dāng)時(shí)， 即 ， ，時(shí)等號(hào)成立，且滿足.

所以的面積最大時(shí)，的方程為或