【題目】2018年2月22日上午，山東省省委、省政府在濟(jì)南召開(kāi)山東省全面展開(kāi)新舊動(dòng)能轉(zhuǎn)換重大工程動(dòng)員大會(huì)，會(huì)議動(dòng)員各方力量，迅速全面展開(kāi)新舊動(dòng)能轉(zhuǎn)換重大工程.某企業(yè)響應(yīng)號(hào)召，對(duì)現(xiàn)有設(shè)備進(jìn)行改造，為了分析設(shè)備改造前后的效果，現(xiàn)從設(shè)備改造前后生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了200件產(chǎn)品作為樣本，檢測(cè)一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，若該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值落在內(nèi)的產(chǎn)品視為合格品，否則為不合格品.圖3是設(shè)備改造前的樣本的頻率分布直方圖，表1是設(shè)備改造后的樣本的頻數(shù)分布表.

表1：設(shè)備改造后樣本的頻數(shù)分布表

（1）完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與設(shè)備改造有關(guān)；

（2）根據(jù)圖3和表1提供的數(shù)據(jù)，試從產(chǎn)品合格率的角度對(duì)改造前后設(shè)備的優(yōu)劣進(jìn)行比較；

（3）企業(yè)將不合格品全部銷毀后，根據(jù)客戶需求對(duì)合格品進(jìn)行等級(jí)細(xì)分，質(zhì)量指標(biāo)值落在內(nèi)的定為一等品，每件售價(jià)240元；質(zhì)量指標(biāo)值落在或內(nèi)的定為二等品，每件售價(jià)180元；其它的合格品定為三等品，每件售價(jià)120元.根據(jù)表1的數(shù)據(jù)，用該組樣本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的頻率代替從所有產(chǎn)品中抽到一件相應(yīng)等級(jí)產(chǎn)品的概率.現(xiàn)有一名顧客隨機(jī)購(gòu)買(mǎi)兩件產(chǎn)品，設(shè)其支付的費(fèi)用為（單位：元），求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附：

0.150

0.100

0.050

0.025

0.010

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

【答案】(1) 有99%的把握認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與設(shè)備改造有關(guān)(2)見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）根據(jù)直觀圖以及表格中所給數(shù)據(jù)，可完成列聯(lián)表；根據(jù)列聯(lián)表，利用公式可得，與臨界值比較可得結(jié)果；（2）根據(jù)圖和表可知，利用古典概型概率公式可得設(shè)備改造前產(chǎn)品為合格品的概率約為，設(shè)備改造后產(chǎn)品為合格品的概率約為，比較合格率的大小即可得結(jié)果；（3）隨機(jī)變量的取值為： ， ， ， ， ，根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算出各隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的概率，可得分布列，利用期望公式可得結(jié)果.

試題解析：（1）根據(jù)圖3和表1得到列聯(lián)表：

設(shè)備改造前

設(shè)備改造后

合計(jì)

合格品

172

192

364

不合格品

28

8

36

合計(jì)

200

200

400

將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算得：

.

∵，

∴有99%的把握認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與設(shè)備改造有關(guān).

（2）根據(jù)圖和表可知，設(shè)備改造前產(chǎn)品為合格品的概率約為，設(shè)備改造后產(chǎn)品為合格品的概率約為；顯然設(shè)備改造后產(chǎn)品合格率更高，因此，設(shè)備改造后性能更優(yōu).

（3）由表1知：

一等品的頻率為，即從所有產(chǎn)品中隨機(jī)抽到一件一等品的概率為；

二等品的頻率為，即從所有產(chǎn)品中隨機(jī)抽到一件二等品的概率為；

三等品的頻率為，即從所有產(chǎn)品中隨機(jī)抽到一件三等品的概率為.

由已知得：隨機(jī)變量的取值為： ， ， ， ， .

，

，

，

，

.

∴隨機(jī)變量的分布列為：

240

300

360

420

480

∴ .

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