Question

15．已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=ax²-x（a≠0）．
（1）若函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象在公共點(diǎn)P處有相同的切線，求實(shí)數(shù)a的值并求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）若函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)M、N，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，過線段MN的中點(diǎn)作x軸的垂線分別與y=f（x）的圖象和y=g（x）的圖象交于S、T點(diǎn)，以S為切點(diǎn)作y=f（x）的切線l₁，以T為切點(diǎn)作y=g（x）的切線l₂，是否存在實(shí)數(shù)a使得l₁∥l₂，如果存在，求出a的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出公共點(diǎn)，利用切線斜率相等列出方程，求解得出a的值；
（2）根據(jù)（1）知，當(dāng)a=1時(shí)，兩條曲線切于點(diǎn)P（1，0），利用數(shù)形結(jié)合的方法，通過平移圖象，得出a的范圍；
（3）不妨設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），且x₁＞x₂則MN中點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$），利用平行，斜率相等得出
，$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=a（x₁+x₂）-1，有l(wèi)nx₁=ax₁²-x₁，lnx₂=ax₂²-x₂，聯(lián)立，利用構(gòu)造函數(shù)h（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$，≡
判斷是否存在零點(diǎn)即可．

解答 解：（1）設(shè)函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象的公共點(diǎn)P（x₀，y₀），則有l(wèi)nx₀=ax₀²-x₀，①
又在點(diǎn)P有共同的切線，
∴f'（x₀）=g'（x₀），
∴$\frac{1}{{x}_{0}}$=2ax₀-1，
∴a=$\frac{1+{x}_{0}}{2{{x}_{0}}^{2}}$，
代入①，得lnx₀=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$x₀．
設(shè)h（x）=lnx-$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{2}$x，
∴h'（x）=$\frac{1}{x}$$+\frac{1}{2}$＞0，（x＞0），
所以函數(shù)h（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，故最多有1個(gè)零點(diǎn)，觀察得x₀=1是零點(diǎn)．
故有a=1，此時(shí)P（1，0），．
（2）根據(jù)（1）知，當(dāng)a=1時(shí)，兩條曲線切于點(diǎn)P（1，0），
，此時(shí)變化的y=g（x）的對稱軸是x=$\frac{1}{2}$，y=f（x）而是固定不動(dòng)的，如果繼續(xù)讓對稱軸向右移動(dòng)，即x=$\frac{1}{2a}$$＞\frac{1}{2}$，得a＜1．
兩條曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，當(dāng)a＜0時(shí)，開口向下，只有一個(gè)交點(diǎn)，顯然不合題意．
綜上可得，有0＜a＜1．
（3）不妨設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），且x₁＞x₂則MN中點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$），
以S為切點(diǎn)的切線l₁的斜率為$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，
以T為切點(diǎn)的切線l₂的斜率為a（x₁+x₂）-1，
如果存在a使得$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=a（x₁+x₂）-1，②
而且有l(wèi)nx₁=ax₁²-x₁，lnx₂=ax₂²-x₂，
如果將②的兩邊同時(shí)乘以x₁-x₂，得$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=a（x₁²+x₂²）-（x₁-x₂）
即$\frac{2（\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}-1）}{\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}+1}$=ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$，令t=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$（t＞0），

則有l(wèi)nt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$=0，
令h（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$，
∴h'（t）＞0，
∴函數(shù)h（t）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，故h（t）＞h（1）=0，
所以不存在實(shí)數(shù)a使得l₁∥l₂．

點(diǎn)評 考查了導(dǎo)數(shù)求斜率，數(shù)學(xué)結(jié)合的思想和利用條件，通過導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的零點(diǎn)是否存在，解決實(shí)際問題，思路不容易想到，屬于難題．