Question

（2012•綿陽(yáng)三模）對(duì)于定義在區(qū)間D上的函數(shù)f（X），若存在閉區(qū)間[a，b]?D和常數(shù)c，．使得對(duì)任意x₁∈[a，b]，都有f（x₁）=c，且對(duì)任意x₂∈D，當(dāng)x₂∉[a，b]時(shí)，f（x₂）＜c恒成立，則稱函數(shù)f（X）為區(qū)間D上的“平頂型”函數(shù)．給出下列說(shuō)法：
①“平頂型”函數(shù)在定義域內(nèi)有最大值；
②“平頂型”函數(shù)在定義域內(nèi)一定沒(méi)有最小值；
③函數(shù)f（x）=-|x+2|-|x-1|為R上的“平頂型”函數(shù)；
④函數(shù)f（x）=sinx-|sinx|為R上的“平頂型”函數(shù)．
則以上說(shuō)法中正確的是

①③

．（填上你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)）

Answer 1

分析：根據(jù)題意，“平頂型”函數(shù)在定義域內(nèi)某個(gè)子集區(qū)間內(nèi)函數(shù)值為常數(shù)c，且這個(gè)常數(shù)是函數(shù)的最大值，但是定義并沒(méi)有指出函數(shù)最小值的情況．由此定義再結(jié)合絕對(duì)值的性質(zhì)和正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，對(duì)于四個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)加以判斷，即得正確答案．

解答：解：對(duì)于①，根據(jù)題意，“平頂型”函數(shù)在定義域內(nèi)某個(gè)子集區(qū)間內(nèi)函數(shù)值為常數(shù)c，且這個(gè)常數(shù)是函數(shù)的最大值，故①正確；
對(duì)于②，根據(jù)“平頂型”函數(shù)的定義，沒(méi)有指明不存在常數(shù)c'，使定義域內(nèi)任意x₀，滿足f（x₀）≥c'，故平頂型”函數(shù)在定義域內(nèi)不一定沒(méi)有最小值，故②不正確；
對(duì)于③，f（x）=-|x+2|-|x-1|≤-|（x+2）+（x-1）|=-3，當(dāng)且僅當(dāng)x∈[-2，1]時(shí)，函數(shù)的最大值為-3，符合“平頂型”函數(shù)的定義，故③正確；
對(duì)于④，函數(shù)f（x）=sinx-|sinx|=

2sinx      x∈(-π+2kπ，2kπ) 0              x∈(2kπ，π+2kπ)

，k為整數(shù)
所以函數(shù)有最小值0，最大值2，但是不存在區(qū)間[a，b]，對(duì)任意x₁∈[a，b]，都有f（x₁）=2，所以f（x）不是“平頂型”函數(shù)，故④不正確．
故答案為：①③

點(diǎn)評(píng)：本題以命題真假的判斷為載體，著重考查了函數(shù)的最值及其幾何意義、帶絕對(duì)值的函數(shù)和正弦函數(shù)的定義域值域等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．