Question

【題目】已知向量 ， ，且 ，f（x）= ﹣2λ| |（λ為常數），求：
（1） 及| |；
（2）若f（x）的最小值是 ，求實數λ的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解： ， ，

∵ ，

∴cosx≥0，

∴ ．

（2）

解：f（x）=cos2x﹣4λcosx=2（cosx﹣λ）2﹣1﹣2λ2，

∵ ，

∴0≤cosx≤1，

①當λ＜0時，當且僅當cosx=0時，f（x）取得最小值﹣1，這與已知矛盾；

②當0≤λ≤1，當且僅當cosx=λ時，f（x）取得最小值﹣1﹣2λ2，

由已知得 ，解得 ；

③當λ＞1時，當且僅當cosx=1時，f（x）取得最小值1﹣4λ，

由已知得 ，解得 ，這與λ＞1相矛盾、

綜上所述， 為所求．

【解析】（1）根據所給的向量的坐標，寫出兩個向量的數量積，寫出數量積的表示式，利用三角函數變換，把數量積整理成最簡形式，再求兩個向量和的模長，根據角的范圍，寫出兩個向量的模長．（2）根據第一問做出的結果，寫出函數的表達式，式子中帶有字母系數λ，把式子整理成關于cosx的二次函數形式，結合λ的取值范圍，寫出函數式的最小值，是它的最小值等于已知量，得到λ的值，把不合題意的舍去．
【考點精析】認真審題，首先需要了解三角函數的最值(函數，當時，取得最小值為；當時，取得最大值為，則，，)．