【題目】已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)任作兩條互相垂直的直線,,分別交拋物線于,,,四點(diǎn),,分別為,的中點(diǎn).
(1)求證:直線過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)設(shè)直線交拋物線于,兩點(diǎn),試求的最小值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析,直線過(guò)定點(diǎn)(2)的最小值為.
【解析】
(1)設(shè),,顯然直線,的斜率是存在的,設(shè)直線的方程為,代入可得,可得出的中點(diǎn)坐標(biāo)為,再根據(jù),得的中點(diǎn)坐標(biāo)為,再令得,
得出直線恒過(guò)點(diǎn),驗(yàn)證,得,,三點(diǎn)共線,從而直線過(guò)的定點(diǎn);
(2))由(1)設(shè)直線的方程為,代入可得,再設(shè),,得韋達(dá)定理,,表示出,由二次函數(shù)得出線段的最小值.
(1)設(shè),,
直線的方程為,代入可得,
則,故,
故的中點(diǎn)坐標(biāo)為.
由,得,所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為.
令得,
此時(shí),故直線過(guò)點(diǎn),
當(dāng)時(shí),,.
所以,,,三點(diǎn)共線,
所以直線過(guò)定點(diǎn).
(2)設(shè),,直線的方程為,
代入可得,則,,
故
(當(dāng)時(shí),取等號(hào)).
故,當(dāng)及直線垂直軸時(shí),取得最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某動(dòng)漫影視制作公司長(zhǎng)期堅(jiān)持文化自信,不斷挖掘中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中的動(dòng)漫題材,創(chuàng)作出一批又一批的優(yōu)秀動(dòng)漫影視作品,獲得市場(chǎng)和廣大觀眾的一致好評(píng),同時(shí)也為公司贏得豐厚的利潤(rùn).該公司2013年至2019年的年利潤(rùn)關(guān)于年份代號(hào)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表(已知該公司的年利潤(rùn)與年份代號(hào)線性相關(guān)):
年份 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 |
年份代號(hào) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
年利潤(rùn) (單位:億元) |
(Ⅰ)求關(guān)于的線性回歸方程,并預(yù)測(cè)該公司2020年(年份代號(hào)記為)的年利潤(rùn);
(Ⅱ)當(dāng)統(tǒng)計(jì)表中某年年利潤(rùn)的實(shí)際值大于由中線性回歸方程計(jì)算出該年利潤(rùn)的估計(jì)值時(shí),稱該年為級(jí)利潤(rùn)年,否則稱為級(jí)利潤(rùn)年.將中預(yù)測(cè)的該公司2020年的年利潤(rùn)視作該年利潤(rùn)的實(shí)際值,現(xiàn)從2015年至2020年這年中隨機(jī)抽取年,求恰有年為級(jí)利潤(rùn)年的概率.
參考公式:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù),),在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線的極坐標(biāo)方程是,等邊的頂點(diǎn)都在上,且點(diǎn),,按照逆時(shí)針?lè)较蚺帕,點(diǎn)的極坐標(biāo)為.
(Ⅰ)求點(diǎn),,的直角坐標(biāo);
(Ⅱ)設(shè)為上任意一點(diǎn),求點(diǎn)到直線的距離的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知.
(1)求的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)時(shí),求證:對(duì)于,恒成立;
(3)若存在,使得當(dāng)時(shí),恒有成立,試求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】《周髀算經(jīng)》中給出了:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二節(jié)氣的日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列的結(jié)論.已知某地立春與雨水兩個(gè)節(jié)氣的日影長(zhǎng)分別為尺和尺,現(xiàn)在從該地日影長(zhǎng)小于尺的節(jié)氣中隨機(jī)抽取個(gè)節(jié)氣進(jìn)行日影長(zhǎng)情況統(tǒng)計(jì),則所選取這個(gè)節(jié)氣中恰好有個(gè)節(jié)氣的日影長(zhǎng)小于尺的概率為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)寫(xiě)出直線的極坐標(biāo)方程與曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)已知與直線平行的直線過(guò)點(diǎn),且與曲線交于兩點(diǎn),試求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在空間幾何體中,平面平面,與都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,,點(diǎn)在平面上的射影在的平分線上,已知和平面所成角為.
(1)求證:平面;
(2)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn),
(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)求證:.
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