如圖，F(xiàn)1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）為雙曲線E的兩焦點，以F1F2為直徑的圓O與雙曲線E交于M、N、M1、N1，B是圓O與y軸的交點，連接MM1與OB交于H，且H是OB的中點．
（1）當c=1時，求雙曲線E的方程；
（2）試證：對任意的正實數(shù)c，雙曲線E的離心率為常數(shù)．

（1）解：∵c=1，
∴B（0，1），
設E：=1（a＞0，b＞0），
∵M在E上，則
∴，
解得，
∴雙曲線E的方程為：2x2-2y2=1…7分
（2）證明：
設E：+4=1，
解得e2=2或e2=（舍），
∴e=為常數(shù)． 7分．
分析：（1）由c=1，知B（0，1），由M在E上，知，由此能求出雙曲線E的方程．
（2）由，知3e4-8e2+4=1，由此能證明e為常數(shù)．
點評：本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，雙曲線的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉化思想．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，F(xiàn)1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）分別是雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左，右焦點，過點F1作x軸的垂線交雙曲線的上半部分于點P，過點F2作直線PF2的垂線交直線l：x=
a2
c
于點Q，若點Q的坐標為（1，-4）．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）求∠F1PF2的角平分線所在直線的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，F(xiàn)1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）為雙曲線E的兩焦點，以F1F2為直徑的圓O與雙曲線E交于M、N、M1、N1，B是圓O與y軸的交點，連接MM1與OB交于H，且H是OB的中點．
（1）當c=1時，求雙曲線E的方程；
（2）試證：對任意的正實數(shù)c，雙曲線E的離心率為常數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，F(xiàn)1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）分別是雙曲線C：數(shù)學公式-數(shù)學公式=1（a＞0，b＞0）的左，右焦點，過點F1作x軸的垂線交雙曲線的上半部分于點P，過點F2作直線PF2的垂線交直線l：x=數(shù)學公式于點Q，若點Q的坐標為（1，-4）．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）求∠F1PF2的角平分線所在直線的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年安徽省宣城市寧國中學高二（上）第二次段考數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，F(xiàn)1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）分別是雙曲線C：-=1（a＞0，b＞0）的左，右焦點，過點F1作x軸的垂線交雙曲線的上半部分于點P，過點F2作直線PF2的垂線交直線l：x=于點Q，若點Q的坐標為（1，-4）．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）求∠F1PF2的角平分線所在直線的方程．

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