Question

設(shè)點F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左，右兩焦點，直線l為右準(zhǔn)線．若在橢圓上存在點M，使MF₁，MF₂，點M到直線l的距離d成等比數(shù)列，則此橢圓離心率e的取值范圍是______．

Answer 1

設(shè)M（x，y）；l為右準(zhǔn)線；
故MF₂=r₂=a-ex； MF₁=r₁=2a-r₂=2a-（a-ex）=a+ex；
MF₁，MF₂，d成等比數(shù)列，故有：r²₂=dr₁，
即有（a-ex）²=（a+ex）（a-ex）/e，
化簡得e（a-ex）=a+ex，故

x

a

=

e-1

e(e+1)

，
由于M在橢圓上，故-a≤x≤a，即有-1≤x/a≤1，
∴-1≤

e-1

e(e+1)

≤1；由于e-1＜0，
故只需考慮不等式的左邊，即考慮-1≤

e-1

e(e+1)

，-e（e+1）≤e-1，
∴e²+2e-1≧0，故得e≥

2

-1，
即e的取值范圍為[

2

-1，1)．
故答案為：[

2

-1，1)．