Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=a，a_n+1=a_n²+a₁，M={a∈R|n∈N*，|a_n|≤2}．
（1）當(dāng)a∈（-∞，-2）時(shí)，求證：a∉M；
（2）當(dāng)a∈（0，

1

4

]時(shí)，求證：a∈M；
（3）當(dāng)a∈（

1

4

，+∞）時(shí)，判斷元素a與集合M的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）如果a＜-2，由題設(shè)條件知|a₁|=|a|＞2，a∉M．
（2）由題高級(jí)條件知當(dāng)0＜a≤

1

4

時(shí)，|an|≤

1

2

（?n≥1）．由數(shù)學(xué)歸納法可以證出對(duì)任意n∈N^*，|a_n|≤

1

2

＜2，所以a∈M．
（3）當(dāng)a＞

1

4

時(shí)，a∉M．由題設(shè)條件可以推導(dǎo)出an+1-a=an+1-a1≥n(a-

1

4

)．當(dāng)n＞

2-a

a- 1 4

時(shí)，an+1≥n(a-

1

4

)+a＞2-a+a=2，由此可知a_n+1＞2，因此a∉M．

解答：證明：（1）如果a＜-2，則|a₁|=|a|＞2，a∉M．（2分）
（2）當(dāng)0＜a≤

1

4

時(shí)，|an|≤

1

2

（?n≥1）．
事實(shí)上，〔i〕當(dāng)n=1時(shí)，|a1|=|a|≤

1

2

．
設(shè)n=k-1時(shí)成立（k≥2為某整數(shù)），
則〔ii〕對(duì)n=k，|ak|≤|ak-1|2+a≤(

1

2

)2+

1

4

=

1

2

．
由歸納假設(shè)，對(duì)任意n∈N^*，|a_n|≤

1

2

＜2，所以a∈M．（6分）
（3）當(dāng)a＞

1

4

時(shí)，a∉M．證明如下：
對(duì)于任意n≥1，an＞a＞

1

4

，且a_n+1=a_n²+a．
對(duì)于任意n≥1，an+1-an=

a

2 n

-an+a=(an-

1

2

)2+a-

1

4

≥a-

1

4

，
則an+1-an≥a-

1

4

．
所以，an+1-a=an+1-a1≥n(a-

1

4

)．
當(dāng)n＞

2-a

a- 1 4

時(shí)，an+1≥n(a-

1

4

)+a＞2-a+a=2，
即a_n+1＞2，因此a∉M．（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．