Question

函數(shù)f（x）=2^x，f（1）•f^-1（2）+f（2）•f^-1（4）+…+f（n）•f^-1（2ⁿ）=______．

Answer 1

解：∵函數(shù)f（x）=2^x，
∴f ^-1（x）=log₂x，
∴f（n）•f^-1（2ⁿ）=2ⁿ•log₂2ⁿ=n•2ⁿ，
設(shè)T_n=2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，①，
2T_n=2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，②，
①-②得：-T_n=2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-n•2ⁿ⁺¹
=
=-[（n-1）2ⁿ⁺¹+2]．
∴T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．
故答案為：（n-1）2ⁿ⁺¹+2．
分析：根據(jù)反函數(shù)求出，a_n=f（n）•f^-1（2ⁿ）=2ⁿ•log₂2ⁿ=n•2ⁿ，的通項(xiàng)公式列舉出數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和T_n的各項(xiàng)，記作①，兩邊乘以2得到一個(gè)等式，記作②，①-②，根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式化簡(jiǎn)即可求出T_n的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出數(shù)列的前n項(xiàng)和即可．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列求和的錯(cuò)位相減法、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式以及確定等比數(shù)列的方法，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．