Question

已知定點(diǎn)M（0，2），N（-2，0），直線l：kx-y-2k+2=0（k為常數(shù)）．
（1）若點(diǎn)M、N到直線l的距離相等，求實(shí)數(shù)k的值；
（2）對(duì)于l上任意一點(diǎn)P，∠MPN恒為銳角，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）點(diǎn)M、N到直線l的距離相等?l∥MN或l過(guò)MN的中點(diǎn)，分類(lèi)解決即可；
（2）對(duì)于l上任意一點(diǎn)P，∠MPN恒為銳角?l與以MN為直徑的圓相離?圓心到直線l的距離大于半徑，從而可求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答：解：（1）∵點(diǎn)M，N到直線l的距離相等，
∴l(xiāng)∥MN或l過(guò)MN的中點(diǎn)．
∵M(jìn)（0，2），N（-2，0），
∴k_MN=1，MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為C（-1，1），
又∵直線l：kx-y-2k+2=0過(guò)點(diǎn)D（2，2），
當(dāng)l∥MN時(shí)，k=k_MN=1；
當(dāng)l過(guò)MN的中點(diǎn)時(shí)，k=k_CD=

1

3

；
綜上可知：k的值為1或

1

3

．
（2）∵對(duì)于l上任意一點(diǎn)P，∠MPN恒為銳角，
∴l(xiāng)與以MN為直徑的圓相離，

即圓心到直線l的距離大于半徑，d=

|-k-1-2k+2|

k2+1

＞

2

，
解得：k＜-

1

7

或k＞1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩直線平行與點(diǎn)到直線間的距離，考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算能力，屬于中檔題．