Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＞0），α，β為方程f（x）=x的兩根，且0＜α＜β＜

1

a

，0＜x＜α．給出下列不等式：
①x＜f（x）；
②α＜f（x）； 
③x＞f（x）； 
④α＞f（x）．
其中成立的是（　�。�

A．①與②

B．①與④

C．②與③

D．③與④

Answer 1

分析：先由已知α，β為方程f（x）=x的兩根轉(zhuǎn)化為α，β為方程F（x）=ax²+（b-1）x+c=0的兩根，畫出對(duì)應(yīng)圖象即可找出結(jié)論．

解答：解：α，β為方程f（x）=x的兩根，
即α，β為方程F（x）=ax²+（b-1）x+c=0的兩根，
∵a＞0且0＜α＜β，對(duì)應(yīng)圖象如下
故當(dāng)0＜x＜α?xí)r，F(xiàn)（x）＞0，
即f（x）＞x，故①正確，③錯(cuò)誤；
另解：設(shè)F（x）=f（x）-x，由已知α、β是F（x）=0的兩根，
∴F（x）=a（x-α）（x-β）．在x∈（0，α）時(shí)，f（x）-x=F（x）=a（x-α）（α-β）．
∵a＞0，x-α＜0，x-β＜0，
∴F（x）＞0．∴f（x）＞x．
又a-f（x）=α-[F（x）+x]=α-x-F（x）=α-x-a（x-α）（x-β）=（α-x）[1+a（α-β）]．
∵0＜x＜α＜β＜

1

a

，
∴aβ＜1．
∴1+a（x-β）=1+ax-aβ＞1-aβ＞0．
 而α-x＞0，
∴α-f（x）＞0．
∴f（x）＜α．∴②錯(cuò)誤，④正確．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)．二次函數(shù)的圖象與X軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是對(duì)應(yīng)方程的根，也是函數(shù)的零點(diǎn)．