Question

(本題滿分12分)

已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，（）．

（Ⅰ）證明數(shù)列是等比數(shù)列，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（Ⅲ）數(shù)列中是否存在三項(xiàng)，它們可以構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，求出一組符合條件的項(xiàng)；若不存在，說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見(jiàn)解析，．

（Ⅱ）．

（Ⅲ）不存在滿足條件的三項(xiàng)．

【解析】本題主要考查了數(shù)列的遞推式的應(yīng)用，數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列的求和問(wèn)題．應(yīng)熟練掌握一些常用的數(shù)列的求和方法如公式法，錯(cuò)位相減法，疊加法等．

（1）把S_n和S_n+1相減整理求得a_n+1=2a_n+3，整理出3+a_n+1=2（3+a_n），判斷出數(shù)列{3+a_n}是首相為6，公比為2的等比數(shù)列，求得3+a_n，則a_n的表達(dá)式可得．

（2）把（I）中的a_n代入b_n，求得其通項(xiàng)公式，進(jìn)而利用錯(cuò)位相減法求得數(shù)列的前n項(xiàng)的和．

（3）設(shè)存在滿足題意，那么等式兩邊的奇數(shù)和偶數(shù)來(lái)分析不存在。

解析：（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012102514302234372241/SYS201210251431063750142273_DA.files/image003.png">，所以，

則，所以，，

所以數(shù)列是等比數(shù)列，

，，

所以．

（Ⅱ），

，

令，①

，②

①－②得，，

，

所以．

（Ⅲ）設(shè)存在，且，使得成等差數(shù)列，

則，

即，

即，，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012102514302234372241/SYS201210251431063750142273_DA.files/image024.png">為偶數(shù)，為奇數(shù)，

所以不成立，故不存在滿足條件的三項(xiàng)．