Question

5．設$\overrightarrow{{e}_{1}}$、$\overrightarrow{{e}_{2}}$是單位向量，若$\overrightarrow{a}$=3$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow$=$\overrightarrow{{e}_{1}}-\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow在\overrightarrow{a}$方向的投影為$\frac{1}{2}$，則$\overrightarrow{{e}_{1}}$與$\overrightarrow{{e}_{2}}$夾角為（　　）

• A． $\frac{π}{3}$
• B． $\frac{2π}{3}$
• C． $\frac{π}{6}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 設$\overrightarrow{{e}_{1}}$與$\overrightarrow{{e}_{2}}$夾角為θ，則由兩個向量的數(shù)量積的定義求得$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$=cosθ；又|$\overrightarrow{a}$|=3，$\overrightarrow在\overrightarrow{a}$方向的投影為$\frac{1}{2}$，可得 $\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$\frac{1}{2}$×3，由此求得cosθ的值，可得θ的值．

解答 解：設$\overrightarrow{{e}_{1}}$與$\overrightarrow{{e}_{2}}$夾角為θ，則$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$=1×1×cosθ=cosθ．
∵$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=3$\overrightarrow{{e}_{1}}$•（$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$）=3${\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}$-3cosθ=3-3cosθ，
又∵|$\overrightarrow{a}$|=3，$\overrightarrow在\overrightarrow{a}$方向的投影為$\frac{1}{2}$，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$\frac{1}{2}$×3，
∴3-3cosθ=$\frac{3}{2}$，求得cosθ=$\frac{1}{2}$，∴θ=$\frac{π}{3}$，
故選：A．

點評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的運算，屬于基礎題．